Matematické Fórum

tedddy · 07. 04. 2012 15:40

Dobré odpoledne.

Prosím mohli byste mi pomoci s tímto příkladem: Mezi čísla 16 a 81 vložte čísla tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost a aby součet vložených čísel byl -42.

Omlouvám se, že tom sem dávám znova i když vím, že už to tu je hodněkrát řešené, ale podle toho postupu mně to nikdy nevyšlo.

Děkuji.

Takjo · 07. 04. 2012 16:08

↑ tedddy:
Dobrý den,
obávám se, že zadání je nejednoznačné. Kolik má být vložených čísel?

tedddy · 07. 04. 2012 16:23

↑ Takjo:

Dobrý den, zadání mám od profesora a nikde jinde jsem ho nenašel (Petáková....), takže nemůžu zkontrolovat jeho správnost. Toto je celé zadání příkladu. Mám k němu i výsledek -> -24,36,-54 .

děkuji za snahu :)

elypsa · 07. 04. 2012 16:24 — Editoval elypsa (07. 04. 2012 16:30)

Zkouším to tu a n mi vychází jako nepřirozené číslo..

Zde moje počítání,, třeba tam někdo nalezne chybu, děkuji.

16 .............................................................. 81
součet čísel místo na místě "....." je 42
Proto celá posloupnost má součet

16+42+81=139

Co z toho jsme schopni zapsat?

$a_{1}=16$
$a_{n}=81$
$s_{n}=139$

________________________

Zkusíme vzorce co známe
$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$
$s_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}$

_____________
Trochu přeskočím

po dosazení a pár úpravách se dá něco málo vyjádřit

$81=16q^{n}\cdot \frac{1}{q}$
$\frac{81}{16}q=q^n$

->dosadíme do vzorce na součet členů

$139q-123=16\cdot \frac{81}{16}q$
$q=\frac{123}{58}$
_______________

Problém je ten že když zkouším dopočítat n, které by pokud se nepletu mělo být přirozené číslo, vychází mi 3,157471374

Edit: UŽ vím kde je chyba :) součat má být -42 a ne 42.
No snad to pak bude vycházet. Myslím, že to co jsem tu popsal by jako návod na postup mohlo stačit. Zkus si to ;)

zdenek1 · 07. 04. 2012 16:37

$\begin{cases}81=16\cdot q^{n+1}\\16-42=16\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\end{cases}$
$q=-\frac32$ , vtip je v tom, že žádné $n$ nepočítáš, protože z první rovnice máš přímo celé $q^{n+1}$
vložená čísla
$-24, 36, -54$

Siroga · 07. 04. 2012 16:40 — Editoval Siroga (07. 04. 2012 16:41)

$a_{1}=16$
$a_{n+1}=81$
$S_{n+1}=55$
$S_{n}=-26$
$a_{n+1}=16q^n$ => $q^n=\frac{81}{16}$
$-26=16\frac{\frac{81}{16}-1}{q-1}$
$26-26q=65$
$q=-1.5$

$a_{2}=16*(-1.5)=-24$
$a_{3}=16*(-1.5)^2=36$
$a_{4}=16*(-1.5)^3=-54$
$a_{5}=16*(-1.5)^4=81$

hledana cisla jsou $a_{2}=-24$ , $a_{3}=36$ , $a_{4}=-54$