Matematické Fórum

Saturday · 31. 10. 2007 21:10

Dokažte indukcí, že pro každé přirozené n platí: $n! \le (\frac{n+1}{2})^n$

Dá se to dokázat pomocí AG nerovnosti, ale nevím, jak upravit druhý krok matematické indukce.

Děkuji předem za pomoc

Marian · 01. 11. 2007 08:56 — Editoval Marian (01. 11. 2007 15:31)

AG nerovnost je tady primo videt. Neni jiz zapotrebi indukce. Dukaz pomoci indukce je jiny.

[edit.]

Ukazu, jak je v tom snadno videt AG nerovnost a ze skutecne nebude zapotrebi indukce. Jak jsem psal, dukaz indukci je jiny. Polozime

$x_j=j,\qquad 1\le j\le n,\, j\in\mathbb{N}$ .

Pro techto n hodnot $x_j,\, 1\le j\le n$ , je mozno pouzit AG nerovnost:

$\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}x_j}<\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}x_j\nl \Leftrightarrow\nl \sqrt[n]{1\cdot 2\cdots n}<\frac{1}{n}\left (1+2+\cdots +n\right )\nl \Leftrightarrow\nl \sqrt[n]{n!}<\frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\nl \Leftrightarrow\nl \sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}{2}\nl \Leftrightarrow\nl n!<\left (\frac{n+1}{2}\right )^n,\qquad\forall n\in\mathbb{N} .$

Obecne v AG nerovnosti vystupuje sice neostry znak nerovnosti, ale pokud jsou hodnoty v souboru hodnot $x_j$ ruzne, jako tomu bylo v nasem pripade, bude znak nerovnosti ostry.

Indukci jsme zde nepotrebovali.Snad pro samotny dukaz AG nerovnosti bychom pouzili (napr.) indukci. Ale tato uloha se skutecne da vyresit nekolikerym zpusobem pomoci indukce.

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2007 21:10

Důkaz indukcí - horní odhad faktorialu

#2 01. 11. 2007 08:56 — Editoval Marian (01. 11. 2007 15:31)

Re: Důkaz indukcí - horní odhad faktorialu

Zápatí