Matematické Fórum

peacemaster · 15. 04. 2012 13:13

Dobré odpoledne, potřeboval bych poradit s řešením příkladu:

Najdi lokální extrémy implicitně zadané funkce y(x); která je řešením rovnice
$F(x,y)=9x^2+4y^2 - 36x +16y - 92=0$

a) musim najít stacionární body, to udělám tak, že vypočtu první derivaci podle vzorce pro derivaci implicitní funkce
$\frac{\partial F'}{\partial x}= -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = \frac{18x-36}{8y+16}$

vyřešim rovnici
$\frac{18x-36}{8y+16}=0$ --> $18x-36=0$ --> $x=2$

dosadím kořen x do původní rovnice a vyjádřim y
$9x^2+4y^2 - 36x +16y - 92=0$ --> $36+4y^2 - 72 +16y - 92=0$ --> $y(y+4)=32$

z toho je $y_{1}=0 ; y_{2}=-4$ je to správně?

teď musí přijít druhá derivace implicitní funkce, ale nevím jak na to, žádný vzorec jako je ten na první der. impl. funkce pro druhou derivaci neexistuje nebo jsem ho nenašel, nakopne mě někdo? :)

jelena · 16. 04. 2012 00:10

Zdravím,

pokud ještě aktuální - pro 2. derivaci bych pokračovala derivovat výsledek 1. derivace, ovšem je třeba brát ohled, že y=f(x), tedy složená funkce. Tuto úlohu již řešil kolega Lukáš (do výsledku ještě je třeba dosadit za y´).

Nebo jako 2. část postupu od Pavla B. (tuto metodu bych preferovala).

Stačí tak? Děkuji.

skoroakvarista · 16. 04. 2012 09:06

Já doplním chyby, které v tom postupu vidím. V rovnosti $-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = \frac{18x-36}{8y+16}$ se vám ztratilo mínus (na výsledek ale vliv nemá). Pak je potřeba správě dopočítat $y_1,y_2$ . Tím získáte dva stacionární body $\vec{\lambda_i}=(x_i,y_i)$ a je potřeba ověřit, jestli funkce $F(x,y)$ zadává na okolí těchto bodů implicitní funkci $z=z(x,y)$ , tedy $\frac{\partial F}{\partial y}(\lambda_i)\neq 0$ .
Co se týče 2. derivace, můžeme využít toho, že máme-li libovolnou funkci $f(x)$ splňující $f'(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=0$ (cože je splněno ve stacionárním bodě, tedy $g(x^{stac})=0$ ), pak pro ní platí následující $f''(x^{stac})=\frac{g'(x^{stac})h(x^{stac})-g(x^{stac})h'(x^{stac})}{h^2(x^{stac})}=\frac{g'(x^{stac})h(x^{stac})-0\cdot h'(x^{stac})}{h^2(x^{stac})}=\frac{g'(x^{stac})}{h(x)}$ , tedy stačí zderivovat pouze čitatel podílu $-\frac{18x-36}{8y+16}$ a dosadit bod $\lambda_i$ . Opakuji, že toto platí jen ve stacionárním bodě, kde je splněna rovnost $g(x^{stac})=0$ , ale jinde nás ta derivace téměř nezajímá. Obecně se 2. derivace počítá pomocí postupů, která zaslala v odkazech kolegyně o příspěvek dříve.

Ještě se zeptám na symbol $\frac{\partial F'}{\partial x}$ , takový zápis jsem nikdy neviděl (to může být má chyba), ale nemělo tam být $\frac{\partial y}{\partial x}$ ?