Matematické Fórum

Mythic · 22. 04. 2012 10:28

Zdravím,
mám zadanou posloupnost: $a_{n+1}=q\cdot a_{n} +4$ a měl bych jí převést na vzorec pro n-tý člen. Vůbec nevím jak na to. Napadlo mě vyčíslit si třeba tři první členy a pak zkoumat vlastnosti. Vždycky tam přibyde jeden člen s q na mocninu o jednu vyšší, než byla u předchozího členu... Ale nevím jak to zapsat

mák · 22. 04. 2012 11:30

Pokud je následující člen:
$a_{n+1}=a_{n}\,q+m$

Pak k-tý člen by mohl být:
$a_{n+k}=m\,\sum_{i=1}^{k}{q^{i-1}}+a_{n}\,q^{k}$

Mythic · 22. 04. 2012 11:44

Myslím, že by to mělo jít i nějak jednodušejš, protože pak je další krok: vypočtěte limitu při q=0,5. A z výrazu kde je suma počítat limitu neumím...

jelena · 22. 04. 2012 11:52

Zdravím,

toto je úloha z Maturity - tak? Byla ještě opakovaně konzultována, pohledám odkaz. Mně se v tom jevilo ne úplně v pořádku zadání (nebo něco jiného se mi nezdálo), zkusím nahlásit do nevyřešených úloh, jestli by se někdo nepodíval a upřesnil.

Snad pomůže.

jarrro · 22. 04. 2012 12:12 — Editoval jarrro (22. 04. 2012 12:32)

tak bude to geometrická postupnosť plus konštantná postupnosť
$cq^n+b$
b sa určí ako riešenie rovnice
$b=bq+4\nlb=\frac{4}{1-q}$
teda $cq^n+\frac{4}{1-q}$
c sa učí konkrétjnejšie ak je aj nejaká počiatočná podmienka ak nie je tak je každé c dobré
vždy platí pri takýchto diferenčných rovniciach, že ak je
$a_{n+1}=f{\left(a_n\right)}+g{\left(n\right)}$ ,
tak
$a_n=b_n+c_n$ , kde $b_n$ je všeobecné riešenie rovnice
$b_{n+1}=f{\left(b_n\right)}$
a c_n je jedno konkrétne riešenie pôvodnej rovnice

jelena · 22. 04. 2012 12:51

↑ jarrro:

Zdravím,

tady jsem to "rozvrtala" :-) Zde komplet zadání. Tak pokud by se podařilo kompletně opravit, bylo by dobře - s použitím nástrojů SŠ.

Moc děkuji.

jarrro · 22. 04. 2012 13:35 — Editoval jarrro (28. 09. 2018 13:43)

↑ jelena:tak dá sa myslím aj na SŠ ukázať, že platí čo som písal v predchádzajúcom príspevku, lebo ak $a_{n+1}=f{$a_n$}+g{$n$}\nl a_{n}=b_n+c_n$ , tak
$b_{n+1}+c_{n+1}=f{$b_n+c_n$}+g{$n$}\nl f{$b_n$}+f{$c_n$}+g{$n$}=f{$a_n+b_n$}+g{$n$}$
čo určite platí ak $f{$x$}=qx$ a možno aj pre iné f neviem teraz momentálne.
teda máme riešenie $a_n=cq^n+\frac{4}{1-q}$
a je tam podmienka $a_1=0$
teda $cq+\frac{4}{1-q}=0\nl c=\frac{4}{q$q-1$}$

jelena · 22. 04. 2012 14:32

↑ jarrro:

děkuji, já si to později promyslím. Teď nedoučuji, ani nepřipravuji na maturity, tak začínám ztrácet přehled, zda bych to snadno vysvětlila při přípravě, myslím, že ne.

peter_2+2

Já bych nato šel přesně tak, jak naznačil Mythic

$a_{n+1}=q\cdot a_{n} +4$

n=1... a1
n=2... q*a1 +4
n=3... q*(q*a1 +4) + 4= q^2*a1+4*q+4
n=4... q*(q^2*a1+4*q+4) + 4 = q^3*a1+4*q^2+4*q+4
n=5... q*(q^3*a1+4*q^2+4*q+4)+4 = q^4*a1+4*q^3+4*q^2+4*q+4

Takže ta posloupnost pro konkrétní "n" bude vypadat
$a_{n}=q^{n-1}*a_{1}+4*q^{n-2}+4*q^{n-3}...4*q^{0}$

Čili jak napsal Mák, akorád teda nevím, jestli ten zápis sumy se takto dá nechat pro k=0.

Jinak pokud ta tvoje posloupnost Jarro platí, samo tam nejde dosadit za q=1, ale jestli tam je jen podmínka a1=0, pak bys tam ten první člen q^(n-1)*a1 mohl normálně přidat a mělo by to fungovat. Teda ne pro q=1.

$a_n=q^{n-1}*a_{1} + cq^n+\frac{4}{1-q}$

Teda snad...

zdenek1 · 22. 04. 2012 18:13

↑ Mythic:
$a_n=a_1q^{n-1}+4\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$

peter_2+2

Btw

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 22. 04. 2012 20:41

↑ Mythic:
Ahoj, vhodné je zavést pomocnou posloupnost $b_n:=a_n-a_{n-1}$ . Pak je $b_n=q.b_{n-1}$ a $a_n=\sum_{i=2}^{n}{b_i} - a_1$ .
Nakonec lze získat výsledek jako zdenek1.

jarrro · 23. 04. 2012 07:49 — Editoval jarrro (23. 04. 2012 07:51)

↑ zdenek1:↑ check_drummer:nie je to taký tvar ako môj,len s inými parametrami? moje c nemusí byť presne
$a_1$ , ale závisí na ňom a tiež na q?

peter_2+2

↑ jarrro:

jarrro napsal(a):
a je tam podmienka $a_1=0$
teda $cq+\frac{4}{1-q}=0\nl c=\frac{4}{q$q-1$}$

Ty si tam prostě jen měl dát že podmínka je $a_1=a_1$ . Protože v zadání není, že by a1 bylo 0. Jinak to je úplně to stejné ve výsledku. Nebo jsem to možná nepochopil co jsi se snažil říct.

jarrro · 24. 04. 2012 07:42

↑ peter_2+2:v zadaní je
$a_1=0$

peter_2+2 · 24. 04. 2012 10:42

↑ jarrro:
Are you sure?

Já to tam nevidím.

jarrro · 24. 04. 2012 11:51

↑ peter_2+2:áno v tom maturitnom v tomto vlákne nie

peter_2+2 · 24. 04. 2012 16:28

↑ jarrro:
Aha, toho jsem si nevšiml až teď, že tu je jakýsi odkaz.

Matematické Fórum

#1 22. 04. 2012 10:28

Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#2 22. 04. 2012 11:30

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#3 22. 04. 2012 11:44

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#4 22. 04. 2012 11:52

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#5 22. 04. 2012 12:12 — Editoval jarrro (22. 04. 2012 12:32)

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#6 22. 04. 2012 12:51

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#7 22. 04. 2012 13:35 — Editoval jarrro (28. 09. 2018 13:43)

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#8 22. 04. 2012 14:32

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#9 22. 04. 2012 17:56 — Editoval peter_2+2 (22. 04. 2012 19:12)

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#10 22. 04. 2012 18:13

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#11 22. 04. 2012 18:29 — Editoval peter_2+2 (23. 04. 2012 10:52)

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#12 22. 04. 2012 20:41

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#13 23. 04. 2012 07:49 — Editoval jarrro (23. 04. 2012 07:51)

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#14 23. 04. 2012 10:39 — Editoval peter_2+2 (23. 04. 2012 10:41)

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

jarrro napsal(a):

#15 24. 04. 2012 07:42

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#16 24. 04. 2012 10:42

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#17 24. 04. 2012 11:51

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

#18 24. 04. 2012 16:28

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

Zápatí