Matematické Fórum

skoroakvarista · 07. 05. 2012 12:59

Zdravím, rád bych vás poprosil o překontrolování mého postupu.
Zadání: Vypočtěte plošnou míru množiny , kde $a,b>0$ jsou parametry. (Symbolem u nás značíme Euklidovský prostor.)
Můj postup: Množinu S jsem si převedl do pseudopolárních souřadnic $x=a\varrho\cos^2\varphi;\ y=b\varrho\sin^2\varphi$ . Jacobiánem tohoto zobrazení je $\Delta_J=2ab\varrho\sin\varphi\cos\varphi$ . Na proměnné $\varrho,\varphi$ jsem dostal tato omezení $0<\varrho\leq ab\sin^2\varphi\cos^2\varphi\ \land\ \varphi\in(0;\pi/2)$ .
Potom by mělo platit $\mu_2(S)=\int_S{1\cdot\mathrm{d}\mu_s(x,y)}\stackrel{*}{=}\int_0^{\pi/2}{\int_0^{ab\sin^2\varphi\cos^2\varphi}{2ab\varrho\sin\varphi\cos\varphi\ \mathrm{d}\varrho}\mathrm{d}\varphi}=\frac{a^3b^3}{60}$ .
Ta poslední rovnost je kontrolována ve WA, pokud si nechám množinu S vykreslit s rozumnými parametry a,b, tak by výsledek podle oka mohl být dobře. V čem si ale nejsem jistý, je rovnost $\stackrel{*}{=}$ a omezení na proměnnou $\varphi$ .

Díky předem.

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2012 12:59

Plošný míra množiny

Zápatí