Matematické Fórum

Ulquiorra · 03. 06. 2012 13:11

Ahoj,

poradil by mi někdo prosím, jak vypočítat u implicitní funkce parciální derivaci 2. řádu? První vypočítám podle vzorce $y^{,}=\frac{Fx^{,}}{Fz^{,}}$ ale pak už nevím, co dál.

Předem děkuju

jardofpr · 03. 06. 2012 17:03

ahoj ↑ Ulquiorra:

bolo by dobre keby si uviedla aspoň ako vyzerá rovnica ktorou má byť implicitná funkcia daná,
a na ktorých premenných má funkcia touto rovnicou daná závisieť.

Ulquiorra · 03. 06. 2012 21:48

Jde o implicitní funkci z = f(x,y), která je zadaná rovnicí $xy+yz-3z^{2}+2x=1$ . A potřebuji vypočítat derivaci 2. řádu v bodě A = [2,0,1]

jardofpr · 03. 06. 2012 23:55

↑ Ulquiorra:

ok
ozn. $F(x,y,z)=xy+yz-3z^2+2x-1\qquad (1)$

platí $F(A)=0$ a $F'_z(A)\neq 0$ (to sa overí priamym výpočtom)
teda na nejakom okolí bodu $A$ platí $F(x,y,z)=0$

keď sa do rovnice $(1)$ dosadí $f(x,y)$ namiesto $z$

dostaneme
$F(x,y,f(x,y))=xy+y.f(x,y)-3.(f(x,y))^2+2x-1$

deriváciou rovnosti $F(x,y,f(x,y))=0$ podľa $x$

dostaneme

$F'_x+F'_z . f'_x=0\qquad (2)$
$F'_z.f'_x=-F'_x$ a keďže $F'_z(A)\neq 0$ môžme ňou pri výpočte derivácie v bode $A$ deliť

odtiaľ je vzťah
$f'_x=-\frac{F'_x}{F'_z}$
identicky získame vzťah
$f'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}$

zderivujme $(2)$ ešte raz podľa $x$
dostaneme $F''_{xx}+F''_{xz}.f'_x+(F''_{zx}+F''_{zz}.f'_x).f'_x+F'_z.f''_{xx}=0\qquad (3)$

keďže je $F$ spojite parciálne diferencovateľná funkcia, platí $F''_{xz}=F''_{zx}$ a $(3)$ sa dá upraviť
na
$F''_{xx}+2F''_{xz}.f'_x+F''_{zz}.(f'_x)^2+F'_z.f''_{xx}=0$ a z toho

$F'_z.f''_{xx}=-(F''_{xx}+2F''_{xz}.f'_x+F''_{zz}.(f'_x)^2)$

opäť predelením nenulovou deriváciou $F'_{z}$ máme vzťah pre $f''_{xx}$

$f''_{xx}=\frac{-(F''_{xx}+2F''_{xz}.f'_x+F''_{zz}.(f'_x)^2)}{F'_z}$

týmto postupom sa dajú získať aj vzťahy pre $f''_{yy}$ a $f''_{xy}$

príklady na vysvetlenie použitého značenia pre istotu:
$F'_z:=\frac{\partial \,F}{\partial \,z}$ , $F''_{zz}:=\frac{\partial }{\partial \,z}\bigg(\frac{\partial \,F}{\partial \,z}\bigg)$ a poradie derivácií,napr. $F''_{xz}:=\frac{\partial}{\partial z}\bigg(\frac{\partial \,F}{\partial \,x}\bigg)$