Matematické Fórum

trusty · 05. 06. 2012 13:55

Dobrý den, potřeboval bych poradit s tímhle příkladem. Nevím si s ním vůbec rady.
děkuji za odpověď

Určete intenzitu gravitačního pole Eg v bodě P ležícím na výšce h nad středem tenkého
homogeního prstence o hmotnosti m a poloměru R. V jaké vzdálenosti dosahuje pole
maxima?

zdenek1 · 05. 06. 2012 15:01

↑ trusty:

hmotnost $\text dm$ přispěje k celkové intenzitě částí velikosti
$\text dE=G\frac{\text dm}{r^2}=G\frac{\text dm}{h^2+R^2}$
vektor intenzity má složku $\text dE_x$ , která nás nemusí zajímat, protože ke každému elementu $\text dm$ existuje na opačném konci průměru odpovídající element, který má složku $x$ stejně velikou opačně orientovanou, takže se vyruší.
Zajímá nás pouze složka $\text dE_y$ , pro kteou platí
$\text dE_y=\text dE\cos \alpha$
Vzhledem k tomu, že $\cos\alpha=\frac hr=\frac h{\sqrt{h^2+R^2}}$ , dostáváme
$\text{d}E_y=\frac{G\cdot \text{d}m}{h^2+R^2}\cdot \frac h{\sqrt{h^2+R^2}}=\frac{Gh\cdot \text{d}m}{(h^2+R^2)^{\frac32}}$
a
$E_y=\int \text dE_y=\int \frac{Gh\, \text{d}m}{(h^2+R^2)^{\frac32}}=\frac{Ghm}{(h^2+R^2)^{\frac32}}$

Když chceme výšku, v níž je maximální intenzita, přepíšeme si to jako funkci
$E_y=Gm\frac y{(y^2+R^2)^{\frac32}}$
a vypočítáme rovnici
$\frac{\mathrm{d} E_y}{\mathrm{d} y}=0$

zbytek je matika