Matematické Fórum

Saturday · 05. 11. 2007 12:17

Neporadil by mi někdo s limitou:

$\lim_{n \to \infty}{n(\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1})$

l'Hospitalem mi to nejde, "vyndavanim" n z odmocnin také nepomáhá, zřejmě to půjde nějak rozšířit nebo na to aplikovat nějaký vzoreček, ale já ho v tom nevidím..

Děkuju

jelena · 05. 11. 2007 12:34

Zkus rozsirit do vzorce (a-b)(a+b)/(a+b), musis to ale provest jednou a pak jeste jednou, nebo do vzorce (a-b)* (a^2 +ab + b ^2) / (a^2 +ab + b ^2) - ta prvni varianta ale vypada peknej. Hodne zdaru :-)

Lishaak

$\lim_{n\to \infty}n$\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1}$=\lim_{n\to \infty}n\frac{(\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1})$ {\(\sqrt{n^2+2}$}^5 + {$\sqrt{n^2+2}$}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {$\sqrt{n^2+2}$}^3{$\sqrt[3]{n^3+1}$}^2 + \cdots + {$\sqrt[3]{n^3+1}$}^5\)} {{$\sqrt{n^2+2}$}^5 + {$\sqrt{n^2+2}$}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {$\sqrt{n^2+2}$}^3{$\sqrt[3]{n^3+1}$}^2 + \cdots + {$\sqrt[3]{n^3+1}$}^5} = \nl = \lim_{n\to \infty}n\frac{(n^2+2)^3-(n^3+1)^2} {{$\sqrt{n^2+2}$}^5 + {$\sqrt{n^2+2}$}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {$\sqrt{n^2+2}$}^3{$\sqrt[3]{n^3+1}$}^2 + \cdots + {$\sqrt[3]{n^3+1}$}^5} = \nl = \lim_{n\to \infty}\frac{6n^5-2n^4+12n^3+7n} {{$\sqrt{n^2+2}$}^5 + {$\sqrt{n^2+2}$}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {$\sqrt{n^2+2}$}^3{$\sqrt[3]{n^3+1}$}^2 + \cdots + {$\sqrt[3]{n^3+1}$}^5} = \nl \lim_{n\to \infty}\frac{6-\frac{O(n^4)}{n^5}} {\frac{{$\sqrt{n^2+2}$}^5 + {$\sqrt{n^2+2}$}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {$\sqrt{n^2+2}$}^3{$\sqrt[3]{n^3+1}$}^2 + \cdots + {$\sqrt[3]{n^3+1}$}^5}{n^5}} = \cdots$

Kazdy ten clen v tom dlouhem souctu je O(n^5), takze je treba kazdy videlit tim n^5. To uz ale neni nic tezkeho, jenom je to pracne. Kazdy ten podil bude mit limitu jedna, cili v citateli toho velkeho zlomku se nascita 6, tedy celkova limita by mela vyjit 6/6 = 1.

Kondr · 05. 11. 2007 15:43

Idealni je vyuzit zobecnene binomicke vety:
$\lim_{n \to \infty}{n(\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1})}=\lim_{n \to \infty}{n\left((n+\frac22n^{-1}+O(n^{-3}))-(n+\frac13n^{-2}+O(n^{-5}))\right)}=\nl=\lim_{n \to \infty}{n(\frac22n^{-1}+O(n^{-3}))}=\frac22+\lim_{n\to\infty}O(n^{-2})=1$

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2007 12:17

Výpočet limity v nevlastním bodě

#2 05. 11. 2007 12:34

Re: Výpočet limity v nevlastním bodě

#3 05. 11. 2007 14:44 — Editoval Lishaak (05. 11. 2007 15:23)

Re: Výpočet limity v nevlastním bodě

#4 05. 11. 2007 15:43

Re: Výpočet limity v nevlastním bodě

Zápatí