Matematické Fórum

Skrytý text:
Je zřejmé, že n nesmí končit sudou cifrou, jinak by totiž n^2 končilo též sudou cifrou. Uvažme tedy, že máme čísla tvaru n=10a+b, kde b je lichá cifra. Potom n^2 = 100a + 20ab + b^2. Zamysleme se nyní nad cifrou na pozici desítek. Hodnotu této cifry ovlivňují pouze členy 20ab, b^2. Je vidět, že člen 20ab může končit pouze dvojčíslím 00, 20, 40, 60, 80, tedy cifra na pozici desítek je vždy sudá. Člen b^2 může nabývat pro liché cifry b pouze hodnot 01, 09, 25, 49, 81, takže cifra na pozici desítek je též vždy sudá. K přenosu z nižšího řádu docházet nemůže, protože nižší řád je tvořen pouze cifrou z pozice jednotek u členu b^2. Cifra na pozici desítek u n^2 je tedy tvořena součtem sudé cifry z členu 20ab a sudé cifry z členu b^2 a není zde žádný přenos z nižších řádů, proto je vždy sudá. Proto jediné přípustné řešení je, když tato cifra na pozici desítek a i všechny cifry vyšších řádů jsou rovny 0, takže se tyto nuly ve standardním dekadickém zápisu neuvádějí. Jediná řešení tedy jsou čísla n=1, 3.