Matematické Fórum

nie je to prienik dvoch polrovín v rovine?

úhel je vzájemná poloha mezi dvěma přímkami, které vycházejí ze společného bodu :o.


Úhel je udán měřením, měří se v určitých dvou bodech, které leží na obou přímkách a to ve stejné libovolné vzdálenosti od společného bodu (nemůže být nulová). Poloha je pak dána poměrem vzdáleností těchto dvou bodů, k určité jiné stanovené vzdálenosti těchto bodů, tato jiná stanovená vzdálenost se pak stává mírou.

Vzdáleností bodů je pak myšlena vzdálenost po obvodu "kružnice", která má počátek ve "společném bodě" a prochází nutně "oběma zvolenými body".

známé míry:
vzdálenost "dvou bodů", která odpovídá 1/90 pravého úhlu (stupně)
vzdálenost "dvou bodů", která odpovídá poloměru "kružnice" (radiány)
vzdálenost "dvou bodů", která odpovídá takové poloze dvou přímek, kdy jsou vzájemně v jedné rovině (pí); respektive vzdálenost "dvou bodů", která odpovídá poloměru "kružnice" zvětšeného v poměru pí (pí).
:o

Vím, že asi neodpovídám na to, na co byl dotaz, ale proč nevymyslet vlastní definici (já nemůžu odpovědět na další část dotazu už jen proto, že o geometrii prakticky nic nevím :o). Ve skutečnosti mi ani není jasné, jak by mohl úhel souviset s rovinou.

Euclid definoval navíc rovinu pomocí přímek, nedokázal bych to přesně přeložit, takže to nechám v angličtině:
A plane surface is (any) one which lies evenly with the straight-lines on itself.

Uhol - množina dvojic bodov ktoré maju  vlastnosť , že od priamky p sú obidva body jednej dvojice rovnako vzdialené a obidva body ležia na kolmici k danej priamke.  Body v 1 polrovine ležia na priamke q.

Zdravím.  Napadla mne následující možná definice:   

Nechť jsou body neležící v jedné přímce.  Dutým úhlem nazveme množinu všech bodů ležících na některé z polopřímek , 
kde je některý bod úsečky .

Definice úhlů ostatních  typů už nebudou problém.

Ale zdůvodnění mne nanapadá,  snad jen to, že mi taková definice připadá celkem jednoduchá.

Pozdravujem
tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=299094#p299094 , v prispevku #118 som zacal malu syntesu na pojem uhol.
Pocitam tam doplnit zakladne veci na tuto temu.

v najkrasich teoremach v prispevku #118, vysoka skola mozte citat toto ( ide o matematicky dobru konstrukciu pojmu "uhol ...." . Na to som sa bohate inspiroval v knihe Lehmann, Bkouche: Initiation à la géometrie, lebo naviac je to aj najmenej technicky pristup k tomuto pojmu)

A tak na definiciu, co co uspokoji luckeho ducha, treba cakat na vysoku skolu.

Kde sa hovori raz o uhloch polo-priamok (vektorov, os) a inokedy o uhloch priamok
A tiez v definicii, treba vyjadrit ze dve dvojice polopriamok  (Ox, Oy); (O'x', O'y') definuju ten isty uhol ak existuje isometria v danom priestore ktora transformuje (Ox, Oy) na  (O'x', O'y') . ( iste tu kazdy vie ze isometria je je transformacia co respektuje vzdialenost). A potom sucet uhlov bude definovany tak ze respektuje sucet ich  "mier".
Co je napisane vysie, sa da doslova povedat pre priamky ...

Poznamanajme, ze rozmer Euklidovskeho priestoru, na ktorom uvazujeme isometrie, hra dolezitu ulohu. ( Presnejsie, treba vediet, ci ide o rovinu, alebo nie)
Tiez podla roznych typov isometrie: priamej (to je taka, ze konzervuje orientaciu) alebo nie, budeme rozlisovat tri druhy uhlov... o ktorych bude aj treba vzdy upresnit v akom priestore su definovane a za akych podmienok mozeme definovat ich mieru...z jej upresnenym, co sa tyka pripadnych nedeterminacii.

1)Orientovane uhly,polo-priamok, budu definovane v Euklidovskej rovine ( ktora nemusi byt orientovana) vdaka priamym isometriam tejto Euklidovskej roviny; Ale ak chceme definovat mieru tychto uhlov, tak je nutne orientovat tuto rovinu: ( pre miery vyjadrene v radianoch ).Tieto uhly su urcene danym zaroven ich sinusom a kosinusom , v orientovanej rovine.
Poznamka: zmena orientacie, zmeni na

2)Orientovane uhly priamok, budu tiez definivane Euklidovskej rovine, nie nutne orientovanom vdaka priamym isometriam v tejto rovine. Aj tu treba ho orientovat  ak chceme definovat miery tychto uhlov; ktore budu definovone tento krat ( v radianoch)...cize budu urcene ich tangentom, pre danu orientaciu roviny. Zmena orientacie roviny, zmeny mieru na

3) Neorientovane uhly polopriamok v lubovolnom Euklidovskom priestore dimenzii vdaka lubovolnym  isometriam, tohto priestoru; ktory v tomto pripade nemusi byt orientovany, aby sme urcili ich mieru; ktora je v tomto pripade jednoznacne urcena na intevale vdaka ich kosinusu

Poznamka:  v tomto pripade, orientovat priestor nema zmysel, aj keby sme uvazovali, len priame isometrie. Skutocne uhol a su isometricke priamou isometriou; ako aj napriklad v priestore dimenzii 3, vdaka rotacii uhla ( ktorej restrikcia na rovinu (Oxy)je nepriama isometria  ) okolo osy  uhla ...ktora permutuje a .

Podle mě se tu zaměňuje úhel s tím, jak ho vyjádřit.

Definice úhlu od Euclida (nečetl jsem ji, když jsem psal tu svoji a uznávám, že ta moje je hloupost, protože dvě přímky nemohou vycházet ze společného bodu, protože jsou nekonečné):

And a plane angle is the inclination of the lines to one another, when two lines in a plane meet one another, and are not lying in a straight-line.

Podle mě tím "not lying in a straight-line" se snažil vyloučit 0° z pojmu úhel, né 180° (nic jiného mě nenapadlo).

And when the lines containing the angle are straight then the angle is called rectilinear. (rovinný úhel = 180°)

=============================

Jde to snadno dokázat na tom co tu bylo napsané "(Ox, Oy); (O'x', O'y') definuju ten isty uhol ak..."

Pokud se hledí na dvě věci a dívá se co mají společného, dá se najít pravou podstatu úhlu, pokud se ale člověk spokojí, že například dva lidi jsou stejní, pokud mají stejnou hlavu, stjené nohy a stejné břicho, pak ona definice není definice úhlu ale stejnosti úhlu, tedy jak úhel vyjádřit tak, aby byl vyjádřen a popsán, nejde tedy o definici úhlu ani o hledání toho co je úhel, ale jak úhel vyjádřit.
Pokud tedy člověk nalezne, kdy jsou dva úhly stejné, nalezne tím i jak popsat úhel, ale nenajde úhel sám.