Matematické Fórum

majoSLOVAKIA · 03. 08. 2012 10:32

Nazdar, neviem pohnut s tymto prikladom.

Napiste rovnicu roviny, v ktorej lezi priamka p: x=1 , y=1+t , z=1-t a má od stredu suradnicovej sustavy vzdialenost 1.

jedna rovina je x=1 a druha?

Dakujem za pomoc

vanok · 03. 08. 2012 11:33

Ahoj ↑ majoSLOVAKIA:,
Tvoja priamka p je dana parametricky
x=1
y=1+t
z=1-t

Zvasok rovin obsahujuci priamku p ma parametricky vyraz
x=1 +au
y=1+t+bu
z=1-t+cu
Kde (a,b, c) su suradnice lubovovneho bodu priestrru co nelezi na na priamke p.

Poznamka: toto sa da napisat aj vo vektorovej forme.

Cize ti ostava urcit body, co vyhovuju tvojej podmienke.
Toto ma pochopitelne aj geometricku interpretaciu! Vies aku?

majoSLOVAKIA

↑ vanok:

je to dotykova rovina ku gulovej ploche, ktora prechadza priamkou p a jedinym bodom na gulovej ploche so stredom (0,0,0) a polomerom 1.

Potrebujem vseobecnu rovnicu tej roviny. Ako som vravel, nevedol som to vyjadrit, tak preto by som poprosim cele riesenie.Su prave dve take roviny. Na jednu som prisiel, na druhu nie.

Dakujem este raz

Rumburak

↑ majoSLOVAKIA:

Ahoj. Zkus na to jít ryze analyticky. Hledaná rovina $\rho$ bude mít rovnici

(1) $ax + by + cz + d = 0$ ,

o níž můžeme předpokládat, že

(2) $a^2 + b^2 + c^2 = 1$

(této situace můžeme vždy dosáhnout vydělením rovnice roviny vhodnou konstantou, protože v té rovnici aspoň jeden z koeficiemnů u $x, y, z$
je vždy nenulový). Vzdálenost bodu $[0, 0, 0]$ od roviny $\rho$ má být (dle známého vzorce) $\frac{|d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 1$ , s ohledem na (2) tedy

(3) $|d| = 1$ .

Rovina $\rho$ má též procházet přímkou o param. rovnicích

(4) $x=1 , y=1+t , z=1-t$ ,

takže pro libovolné reálné $t$ musí být splněna rovnice

(5) $a + b(1+t) + c(1-t) + d = 0$

vzniklá dosazením z (4) do (1). Ekvivalentní úpravou rovnice (5) dosteneme $a + b + c + d = t(c - b)$ a má-li tato rovnice být
splněna pro každé reálné $t$ (tak jako rovnice (5)), musí být $c - b = 0$ , tj.

(6) $c = b$

a (5) zároveň přejde v rovnici

(7) $a + 2b + d = 0$ .

Výsledkem dosavadních úvah je soustava tvořená rovnicemi (2), (3), (6), (7) o neznámýxh $a, b, c, d$ , kterou můžeme vyřešit.

majoSLOVAKIA · 07. 08. 2012 09:52

↑ Rumburak:

Dakujem Rumburak, toto bolo to spravne vysvetlenie!

1. rovina : x=1
2. rovina : x-2y-2z+3=0

vanok · 07. 08. 2012 13:27 — Editoval vanok (07. 08. 2012 14:17)

↑ majoSLOVAKIA:
Nemal som pred tym cas sa vratit k tomuto vlaknu.
Tak nadvezujem na tvoju odpoved... a toto doplni po geometrickej stranke, co ti napisal uz kolega ↑ Rumburak: (ktoreho pozdravujem)
Je jednoduche si uvedolmit, ze priamka p je v rovine rovnice $x=1$ a ze jej bod dotyku z jednokovou gulou je v bode A(1,1,1)
Tak teraz ti staci vdaka geometrickym uvahom najst druhu bod dotyku jednokovej guly zo zvazkom rovin.
Neham tu radost najst ten "druhy" bod B po konstatacii, ze kolmica v rovine $x=1$ na priamku p prechadza bodom H(1,1,1) a ze $|AH|= \sqrt 2=|BH|$ ...co ti da vdaka praci v rovine (ABH) suradnice bodu B a potom hladanu rovinu.

Staci?

Matematické Fórum

#1 03. 08. 2012 10:32

polohove a metricke vztahy priamok a rovin

#2 03. 08. 2012 11:33

Re: polohove a metricke vztahy priamok a rovin

#3 03. 08. 2012 12:32 — Editoval majoSLOVAKIA (03. 08. 2012 13:00)

Re: polohove a metricke vztahy priamok a rovin

#4 03. 08. 2012 15:32 — Editoval Rumburak (03. 08. 2012 15:54)

Re: polohove a metricke vztahy priamok a rovin

#5 07. 08. 2012 09:52

Re: polohove a metricke vztahy priamok a rovin

#6 07. 08. 2012 13:27 — Editoval vanok (07. 08. 2012 14:17)

Re: polohove a metricke vztahy priamok a rovin

Zápatí