Matematické Fórum

yaqwsx · 12. 08. 2012 23:12 — Editoval yaqwsx (14. 08. 2012 08:58)

Snažím se matematicky popsat pohyb tělesa po kružnici, které se pohybuje s tečnovým zrychlením, které má sinový průběh. Tzn. úhlové zrychlení má následující průběh:
$a_\omega=A_\omega\sin \frac{\pi t}{T}$
kde $a_\omega$ je úhlové zrychlení, t je čas, T je perioda průběhu a $A_\omega$ je maximální úhlové zrychlení.
Zintegrováním dostanu vztah pro okamžitou úhlovou rychlost:
$\omega=\frac{A_\omega T}{\pi}(1-cos\frac{\pi t}{T})$
Celkové zrychlení, se kterým se těleso pohybuje spočítám pomocí Pythagorovy věty:
$A=\sqrt{(a_\omega r)^2+(\omega^2 r)^2}$
Když dosadím:
$A=\sqrt{(A_\omega r \sin \frac{\pi t}{T})^2+(\frac{A_\omega T}{\pi}((1-cos\frac{\pi t}{T}))^2 r)^2}$

Vstupem do tohoto výpočtu je cílová rychlost $\Omega$ , které je nutno dosáhnout, maximální možná úhlová dráha $\alpha$ , na které je možné této rychlosti dosáhnout a maximální celkové zrychlení $A$ , které nesmí být překročeno. Pokud není možno dosáhnout $\Omega$ na dráze $\alpha$ bez překročení $A$ , potřebuji zjistit novou (nižší) rychlost $\Omega$ pro kterou to lze.

Zatímco u lineárního pohybu jsem řešení tohoto problému našel během chviličky, tady nevím. Pomalu si začínám myslet, že klasické řešení neexistuje - vidím zde mnoho cyklických závislostí.

Nemáte někdo nějaký nápad? Za jakékoliv nepřesnosti/opomenutí se omlouvám - hledím na to už pár dní a trochu mi začíná vynechávat hlava.

Rumburak · 15. 08. 2012 16:06

Je to hodně komplikované. Píšeš, co je "vstupem", ale není úplně jasné , co má být "výstupem" - snad vzorec pro časový průběh velikosti zrychlení,
jak by se zdálo z posledního uvedeného výpočtu ? Zkus co nejpřesněji zformulovat zadání.

yaqwsx · 15. 08. 2012 20:16

Výstupem by měl být vzorec pro zjištění maximální hodnoty úhlové rychlosti a úhlového zrychlení, tak aby nikdy nebyla překročena velikost vektoru celkového zrychlení A a zároveň celý pohyb trval co nejkratší dobu (tzn. byl co nejdynamičtější).
Jak jsem na to chtěl jít - chtěl jsem si zderivováním posledního vzorce a následným porovnáním s nulou zjistit, kterém bodě nastává maximální hodnota zrychlení. Jelikož je to složitý vzorec, vložil jsem jej do Wolframu. Dostal jsem z něj však nesmysl - 6 řešení, z nichž 4 jsou komplexní řešení a zbývající 2 nedávají smysl; ve vzorci vycházel výraz $acos(1+a+b)$ , kde $a>0, b >0$ (a, b byly zlomky).
Když jsem si však celou situaci nakreslil do grafu a vyzkoušel celkem velký rozsah hodnot, dospěl jsem k závěru, že pro mě s dostatečnou přesností postačuje řešení, kdy maximální hodnoty zrychlení je dosaženo buď v čase $T$ anebo $\frac{T}{2}$ . A pokud se řešení nachází někde mezi těmito hodnotami, tak je to buď velice blízko jedné z nich anebo je průběh celkového zrychlení mezi nimi téměř konstantní.

Ale i když jsem si zavedl toto zjednodušení a různě jsem podosazoval, tak jsem nedobral žádného řešení. Vždy mi z toho vyšla nějaká blbost.

Rumburak

↑ yaqwsx:

Tomu zadání tedy rozumím tak, že máme dánu časovou závislost úhlového zrychlení, tj. konstanty $A_\omega, T$ ve vzorci

(1) $a_{\omega}(t)=A_\omega\sin \frac{\pi t}{T}$ .

Jeho integrací dostaneme časovou závislost úhlové rychlosti

(2) $\omega(t)=-\frac{A_\omega T}{\pi}\cos \frac{\pi t}{T} + \omega_0$

a další integrací časovou závislost úhlové dráhy (či jak se to jmenuje)

(3) $\varphi(t)=-\frac{A_\omega T^2}{\pi^2}\sin \frac{\pi t}{T} + \omega_0t + \varphi_0$ ,

kde $\omega_0, \varphi_0$ jsou integrační konstanty, jeichž hodnoty volíme podle úhlové rychlosti a úhlové dráhy v okamžiku $t = 0$ .
Volit $\omega_0=\frac{A_\omega T}{\pi}$ jistě není problém.

Extrémy úhlového zrychlení (1) nastávají v časových bodech $t$ , kdy $\sin \frac{\pi t}{T} = \pm 1$ ,
obdobně extrémy úhlové rychlosti (2) nastávají v časových bodech $t$ , kdy $\cos \frac{\pi t}{T} = \pm 1$ .

Zda bude nebo nebude překročeno "celkové zrychlení" (patrně velikost vektorového součtu tečného a normálového zrychlení při pohybu
bodu po kružnici) se musí ověřit, ale není mi jasné, k čemu je dobré tyto principiálně různé (i když příbuzné) fyzikální veličiny porovnávat.

Co myslíš tím, aby pohyb trval co nejkratší dobu ?
Popsaný pohyb, který je v jistém smyslu periodický, bude celkově trvat tak dlouho, dokud ho uměle nezastavíš :-).

EDIT. Závěrečnou úvahu z předchozí verze jsem smazal, protože byla nesprávná.

yaqwsx · 16. 08. 2012 19:00

Díky za odpověď, ale asi jsem špatně popsal zadání. Zkusím to znovu a obsáhleji. Jak jsem v tom ponořený, asi už spoustu věcí beru za samozřejmost a opomínám je zmínit.
Celý tento výpočet dlouží jako model po kinematiku robotického ramene, které se pohybuje po zadané trajektorii popsané přímkami a kruhovými oblouky (do budoucna možná i složitějšími křivkami). Cílem je, aby se rameno mohlo pohybovat co nejrychleji, tzn. celou trajektorii projet co největší rychlostí. Tuto rychlost limituje mechanická konstrukce stroje. Po spoustě úvah, zkoušení a měření jsem dospěl k závěru, že téměř ideální pohyb je pokud má jeho zrychlení sinový průběh. Tehdy je průběh rychlosti plynulý a nevznikájí rázy a konstrukce je nejméně namáhana - tedy na své hranice se dostane při pohybu větší rychlostí. Na základě tohoto jsem implementoval pohyb pro přímce a sinusoidě (pro navázání jednolivých segmentů - získám plynulejší pohyb bez nutnosti brzdit za cenu malého zkraslení tvaru trajektorie). Výsledky byly nad očekávání dobré. Vzešlo z nich, že limit mechanické konstrukce charakterizuje max. velikost zrychlení $A$ , která je tedy konstantou. (Doplním, že pro nízké rychlosti by bylo ještě vhodné zavést omezení maximálního ryvu $J$ , ale to prozatím nechávám být a budu řešit v budoucnu).
Nyní se snažím tento poznatek přenést i pro pohyb po kruhovém oblouku. Pokud se na oblouku pohybuji konstatní rychlostí, není problém určit mezní rychlos $v$ , potažmo úhlovou rychlost $\Omega$ , kdy není překročeno špičkové zrychlení $A$ . Problémem je, že na kružnici často potřebuji zrychlovat či zpomalovat.
Začal jsem tedy mou úvahu - odovodil jsem si sadu vzorečků pro lineární pohyb se sinovým zrychlením. (uvádím zde pouze případ zrychlování z nulové rychlosti na cílovou - pro zjednodušení). Zde jsou:
zrychlení lineárního pohybu má průběh:
$a=A \sin{\frac{\pi t}{T}}$
, kde konstantou stroje je pouze $A$ , peridodu $T$ spočítám z následujích vztahů (např. pokud chci maximální rychlost, či zadanou)
rychlost lineárního pohybu má průběh:
$v=\frac{AT}{\pi}(1-\cos{\frac{\pi t}{T}})$
dráha lineárního pohybu (potažmo vzdálenost od počátku) má následující průběh:
$s=\frac{AT}{\pi}(\pi t-T\sin \frac{\pi t}{T})$
Celkovou dráhu, kterou těleso urazí za periodu T zjistím následovně:
$S=\frac{AT^2}{\pi}$
Ze vzorce pro rychlost, jsem schopen určit potřebnou délku periody, abych dosáhl zadané rychlosti (tedy $v$ si volím, je vstupní proměnnou):
$T=\frac{\pi v}{2A}$
A maximální rychlost, kterou jsem schopen dosáhnout na zadané dráze zjistím následovně:
$v=\sqrt{\frac{4AS+\pi(v_0^2+v_b^2)}{2\pi}}$
, kde $v_0$ je počáteční rychlost na začátku úseku a $v_b$ je brzdná (koncová rychlost) na konci úseku. Obě tyto rychlosti si volím (jsou vstupem)

Protože se však pohybuji po kružnici, je pro mě výhodné uvažovat úhlovou rychlost - když tedy do výše uvedených vztahů dosadím místo rychlosti ( $ms^-1$ ) úhlovou rychlost( $s^-1$ ), místo dráhy ( $m$ ) úhlovou dráhu (úhel) ( $rad$ ) a místo zrychlení ( $ms^-2$ ) úhlové zrychlení ( $s^-2$ ), tak budou platit.
Tím jsem měl vyřešen problém s kontrolou rychlosti. Nastava však otázka, jakou hodnotu má hodnota $A_\omega$ . Logicky má takovou hodnotu, aby se výraz:
$http://www.matweb.cz/cgi-bin/mathtex.cgi?\dpi{140}\gammacorrection{1}\parstyle\begin{align*}\usepackage[czech]{babel}%20\sqrt{(A_\omega%20r%20\sin%20\frac{\pi%20t}{T})^2+(\frac{A_\omega%20T}{\pi}((1-cos\frac{\pi%20t}{T}))^2%20r)^2}\end{align*}$
ve svém maximu rovnal hodnotě maximálního zrychlení $A$ . Potřebuji tedy zjistit, jakou maximální úhlovou rychlostí $\Omega$ a s jakým maximálním špičkovým úhlovým zrychlením $A_\omega$ se můžu pohybovat, abych nepřekročil maximální povolené zrychlení $A$ . Tady se trochu poopravím - hodnotu T nepotřebuji zjistit - tu zjistím z výše uvedených veličin.
Mám teď rozpracovaný další nápad, jak to spočítat, ale zatím ho sem nechci posílat - až jestli se mi bude zdát, že to není slepá ulička.

rughar · 17. 08. 2012 03:01 — Editoval rughar (17. 08. 2012 03:22)

Ahoj. Myslím že chápu co chceš. Původní vzoreček

$A=\sqrt{(A_\omega r \sin \frac{\pi t}{T})^2+(\frac{A_\omega T}{\pi}((1-cos\frac{\pi t}{T}))^2 r)^2}$

A snaha v něm hledat maximum je podle mě skutečně to, co hledáš. A souhlasím, nalézt t, pro které je zrychlení maximální, je dost nehezký výpočet. Vzoreček je sice dlouhý, ale ne neřešitelný. Mě wolfram krom t=0 (kde je evidentně minimum) a komplexích blábolů (tam se s časem opravdu nedostaneme) vyšla dvě řešení s opačnými znaménky. Můžeme bez problému uvažovat jen jedno z nich z odkazem, že se budeme věnovat pouze kladým časům. Takže zbývá pouze

$t=\frac{T \text{ArcCos}\left[1+\frac{i \left(i+\sqrt{3}\right) \pi ^{8/3}}{2 6^{1/3} \left(9 A^4 T^8+\sqrt{-6 A^6 \pi ^4 T^{12}+81 A^8 T^{16}}\right)^{1/3}}-\frac{i \left(-i+\sqrt{3}\right) \pi ^{4/3} \left(9 A^4 T^8+\sqrt{-6 A^6 \pi ^4 T^{12}+81 A^8 T^{16}}\right)^{1/3}}{2 6^{2/3} A^2 T^4}\right]}{\pi }$ (*)

(z důvodu kopírování z wolframu u výrazu (*) je A označena veličina, která má být označena $A_{\omega}$ )

Zde bych rád zdůraznil na zradu od Wolframu, které jsem si všimnul a je mimochodem možné, že tě stejně zradil i tvůj Wolfram. Při výběru "správného" reálného řešení není košer se ohlížet na to, který výraz obsahuje v sobě "íčko". Tento jako jediný (kromě triviálního t=0) je reálným, ačkoli "íčko" obsahuje a naopak jiné výstupy jej neobsahují. Výstupy wolframu se musí brát s rezervou, neboť na tvrdo uvádí výraz, kterému i když jasně řeknu, že A>0 a T>0, tak stejně si ve výrazu nechá podle těchto podmínek něco záporného pod odmocninou. Při zachování reálných A a T je skutečně výše zmíněný výraz reálný.

Pak je tady zrada od wolframu číslo dva. Ten výraz je skutečně reálný, ale pouze někdy. Pro dostatečně velké amplitudy zrychlení oproti periodě T výjdou komplexní úplně všechna řešení a zůstane pouze t=0. To naprosto sedí s tvými obrázky. V jednom případě je uprostřed intervalu někde maximum a v jednom případě vymizí a je na okraji.

A zrada wolframu číslo tři. Je naprosto evidentní, že pokud je maximum pro nějaký čas t, je určitě i pro nějaký čas t + 2T, někdy i v t + T. To ale wolfram nějak odignoruje a nechá jen to první. Krom řešení t=0 tedy je jistě řešením i t=T. A osobně z toho vidím vyvození následovné:

1) Pokud výraz (*) je reálný pro hodnota A,T, pak se zde nachází maximum pro zrychlení (a zároveň -- teď pozor -- ve všech bodech zvětšených o hodnotu 2T) a v bodech t = 0, t = T, t = 2T, t = 3T , ... má velikost zrychlení své minimum -- je zde nulové
2) Pokud výraz (*) je komplexní pro hodnoty A,T, pak jsou extrémy pouze v bodech t = 0, t = T, t = 2T, ... kde platí, že v
$t = 2kT$ .......... minimum
$t = (2k+1)T$ ......... maximum

Tohle celé k času t a tomu, že ti to nevyšlo. Nejspíš je chyba jen v interpretaci výstupu wolframu. Pozor na ta slavná "íčka".

Tedy sumasumarum. Mame t, kde je maximum. Dosazeni tohoto velkeho vyrazu do

$A=\sqrt{(A_\omega r \sin \frac{\pi t}{T})^2+(\frac{A_\omega T}{\pi}((1-cos\frac{\pi t}{T}))^2 r)^2}$

se dostane maximalni zrychleni. Maximalni rychlost jiz neni slozite najit.

To je z vyrazu

$\omega=\frac{A_\omega T}{\pi}(1-cos\frac{\pi t}{T})$

jasne videt, ze velikost maximalni uhlove ryhclosti je

$\Omega=2\frac{A_\omega T}{\pi}$

(stačilo si uvědomit, kdy má cosinus nejvyšší hodnotu)

A drobna diskuse k závěru. To, zda-li t umístit na okraj nebo někam "doprostřed" dle výrazu (*) (toto rozhodnutí provádíme na základě toho, zda je vychází (*) komlplexní nebo reálné) se nejspíš ani u tebou reálně popisovaného experimentu nedá laxně přejít zanedbáním. Nahrazení (*) přibližnou hodnotou T/2 bude zřejmě při porovnání s experimentálními daty velmi dobře sedět. Vykreslim-li si prubeh t, kde dochazi k maximu zrychleni, v zavilsoti na konstantach Aomega, T tak dostanu takovy prubeh

obrazek v pdf

Na spodních osach ma interval 0..8 veličina A, a 0..2 patří veličině T (vše jednotky SI). To, co je pak v grafu vyneseno do horizontálního směru, je hodnota t/T , kde t je právě ten čas, kde je A maximílní. Je vidět, že tvůj odhad umístit ho zhruba do 0.5T je velmi dobrý. Je patrné, že tam vzniká jakási "hranice" ve tvaru skoro hyperboly. To je právě ta oblast, kde nám (*) skočí do imaginárních hodnot a maxima jsou pak na hranicích periody. Mimochodem. Na te "hranici" má na tom obrázku t/T hodnotu přesně 2/3. I když se to tváří na nějakých 0.58 - inu, numerické halo. To, že výraz (*) se nachází triktně v intrvalu T/2 .. 2T/3, tak je zcela analytický výsledek. Ale už ho nebudu rozpeisovat. Je to prostě jen gymnastika s wolframem. Kdybys o to stál, tak ti to klidně pošlu.

Na závěr ještě přidám jeden analytický výsledek. To, kdy je (*) komplexní a jdy ne. Tedy jaké podmínky mají platit pro Aomega a T, abychom použili buď (*) nebo umístili maximum do okraje. Dá se též odvodit, že (*) je potřeba použít právě tehdy, když

$A_{\omega}T^2 < \frac{\pi^2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}$

když je rovno, jsme na pomezí. A to je právě ten případ (a současně návod jak k tomu přijít), kde je t/T rovno 2/3.

----------------

jesště jsem si všimnul, že jsem dost vágně střílel, jak to bude s tím řešením, když jedno výjde v nějakém bodě t, tak další bude v bodě t + 2T. vidím žemi to někde nesedí, ale to nevadí. Pro účely příkladu stačí vskutku zkoumat pouze interval 0..T. A tedy mohou nastat pouze 2 možnosti

1)
(*) ...... maximum
t=0, t=T ...... minimum

2)
t=0 ...... minimum
t=T ...... maximum

----------------

a ještě než usnu :P, tak je vidět hezká analytická vlastnot, že výraz (*) lze přepsat do tvaru, že

$t = Tf(A_{\omega}T^2)$

, kde f je docela složitá funkce, ale v našem pojetí je to funkce jedné proměnné (a z intervalu 1/2...2/3, pokud je reálná). Tedy že t/T lze zapsat jako funkcí A_{\omega} T^2. Je možná komplikované, jak t závisí na A a T, ale co lze s jistotou tvrdit, že to vyjde stejně, pokud se zachová hodnota výrazu A_{\omega} T^2

yaqwsx · 17. 08. 2012 18:42

Díky za vyčerpávající odpověď. Při čtení tvé odpovědi jsem musel párkrát složit hlavu do rukou a říct si, jak blbej jsem, že jsem si toho nevšiml. Pravda, s Wolframem nedělám - jen občas k němu zabrousím.
Ačkoliv v Tvé odpovědi nebyl vyřčena přímo odpověď na mou otázku, pomohla mi si v hlavě udělat jasno a pořádek.
Držel jsem se mého posledního předpokladu - výsledek je buď T, T/2 anebo v těsné blízkosti za T/2. Dostal jsem 2 vzorečky; První pro případ, kdy maximum je v T:
$A_\omega=\frac{\sqrt{\frac{A}{r}}}{2T}$
A druhý pro maximum v T/2, popř. v blízkosti za ním:
$A_\omega=\sqrt{\frac{\pi^2\sqrt{\pi^2r^4+4a^2r^2T^4}}{2r^2T^4}-\frac{\pi^4}{2T^4}}$

Napsal jsem si krátký program (simulaci), který na základě těhto vzorečků generuje rychlosti a nakrmil jsem ho reálnými daty a navíc jsem podle Tvého vzorečku určoval maximum. Tato data mě příjemně překvapila - nenastala jediná situace, kdy by maximum vyšlo "někde daleko mezi T/2 a T". Vždy jedno ze zrychlení zásadně převažovalo - tedy buď bylo "dominantní" tečné a nebo dostředivé. Rozdíl by relativně velký a tedy odchylka skutečného maxima od T/2 byla jen v řádu setin procenta - největší napočítaná odchylka byla 0,08% z T. Pro určování výsledné rychlosti naprosto dostačující a výrazně zjednodušující výpočet. A i kdyby v praxi nastala data, kdy by byla odchylka větší, tak ze zjednodušeného vzorce vyjde rychlost o něco měnší, něž je ta skutečná maximální - nikdy tedy nenastane situace, kdy by stroj pracoval nad maximální rychlostí.

Ještě jednou díky za odpověď - bez tohoto tématu bych se snad odpovědi nidky nedobral anebo by mi to trvalo mnohem déle.

jelena · 29. 03. 2013 16:10

Zdravím,

kolega se podělil o ukázku projektu, pěkné :-)

Matematické Fórum

#1 12. 08. 2012 23:12 — Editoval yaqwsx (14. 08. 2012 08:58)

Zrychlení při kruhovém pohybu

#2 15. 08. 2012 16:06

Re: Zrychlení při kruhovém pohybu

#3 15. 08. 2012 20:16

Re: Zrychlení při kruhovém pohybu

#4 16. 08. 2012 10:16 — Editoval Rumburak (17. 08. 2012 10:23)

Re: Zrychlení při kruhovém pohybu

#5 16. 08. 2012 19:00

Re: Zrychlení při kruhovém pohybu

#6 17. 08. 2012 03:01 — Editoval rughar (17. 08. 2012 03:22)

Re: Zrychlení při kruhovém pohybu

#7 17. 08. 2012 18:42

Re: Zrychlení při kruhovém pohybu

#8 29. 03. 2013 16:10

Re: Zrychlení při kruhovém pohybu

Zápatí