Matematické Fórum

Skrytý text:

Daný vzorec můžeme upravit na . Zaveďme substituci . Dalšími úpravami, kde se snažíme odstranit proměnnou , můžeme dojít k rovnici . Podle Vietových vztahů určíme a . Neceločíselná řešení nás nezajímají, tak nechť aspoň jeden kořen je přirozený. Jejich součet má být však přirozené číslo, takže bude přirozený i ten druhý. Taktéž nás zajímají pouze takové kořeny, které jsou dělitelné , tedy , zároveň však musí , aby i bylo přirozené. Zaveďme tedy proměnné a tak, že .

Nyní předpokládejme, že a jsou čísla nesoudělná. Tím pádem jsou nesoudělná i s a a s a . Protože je přirozené, musí platit:

Pomocí čehož dále odvodíme
A protože zároveň , pak

Potom také
.
Protože víme, že , tedy , můžeme dosadit:
, což platí pouze pro , protože , nemůže tedy jinak dělit . Z toho můžeme usoudit, že .

Nyní můžeme vyjádřit součin , který je třetí mocninou přirozeného čísla.

Jestliže čísla a vynásobíme číslem , pak bude neceločíselné, je třeba i vynásobit . Součin se poté zvětší krát, bude tedy stále třetí mocninou. Součin je tedy třetí mocninou i pro soudělné a .

Skrytý text:
Prečo môžme predpokladať, že sú nesúdeliteľné ?

Skrytý text:
Ak mám byť úprimný, nie som si istý, či táto "brutálna" cesta k niečomu vedie. Je však dobre, že si ju skúsil, pretože teraz uvidíš, aké elegantné vie byť použitie toho, čo sa používa v mojom riešení.

Skrytý text:
Označme exponent prvočísla v kanoickom rozklade čísla . Platia preň tieto dobré vzťahy:

  (1)

  (2)

Dôležité je, že v (2) nastáva rovnosť práve vtedy, keď .

To, čo sa vlastne snažíme dokázať, je implikácia: Ak pre každé prvočíslo platí , tak je pre každé prvočíslo násobok troch.

Skrytý text:
Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať dve dobré veci:

1. Nesúdeliteľnosť a,b,c (všetkých troch !). Čo to potom znamená pre ?

2. Pre pevne dané prvočíslo predpokladať, že . Máme dva prípady.

Skrytý text:
To značenie som videl prvýkrát v jednom dokumente a potom som sa s ním stretával prakticky všade (iné označenie tých exponentov som zatiaľ nevidel).

A k tej knihe. Je to geniálna kniha, už ju mám celú prejdenú. Do 2. dielu sa mi zatiaľ veľmi nechce (je to kombinatorika...).