Matematické Fórum

BakyX · 01. 11. 2012 18:10

Dobrý deň.

Je daná funkcia $f(x)$ definovaná v bode $a$ , pričom $f(a) \neq 0$ . Predpokladajme, že je v tomto bode spojitá. Ako dokázať, že v tomto bode je spojitá aj funkcia

$\frac{1}{f(x)}$

Potrebujem to k dôkazu pravidla, že ak sú dve funkcie spojité v danom bode, tak v tom bode je spojitý aj ich podiel, preto to nemôžem použiť. Vopred ďakujem.

Brano · 01. 11. 2012 18:17

Dokaz, ze $\frac{1}{x}$ je spojita pre $x\not=0$ a dokaz, ze ak $f$ je spojita v $a$ a $g$ je spojita v $f(a)$ , tak $g\circ f$ je spojita v $a$ .

Rumburak · 02. 11. 2012 11:31

Ahoj. Půjde to snadno i přímo, naznačím, jak na to.

Pro technické zjednodušení přidejme (v podstatě bez újmy na obecnosti) předpoklad $f(a) > 0$ .
Odtud a ze spojitosti funkce $f$ v bodě $a$ plyne, že pro body $x$ dostatečně blízké bodu $a$ bude

$f(x) > \frac {1}{2} f(a)$ , takže $|\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(a)}| = \frac{|f(a) - f(x)|}{f(a)f(x)} < \frac{2}{f^2(a)} |f(a) - f(x)|$ .

Stačí takto ?

BakyX · 02. 11. 2012 14:21

↑ Rumburak:

Ahoj. Ďakujem. Asi to chápem.

Na základe spojitosti $f(x)$ v $a$ existuje $\delta>0$ také, že pre $x$ z okolia $U(a,\delta)$ platí

$\left|f(x)-f(a) \right|<\frac{|f(a)|}{2}$ . Potom $\left|f(x)\right|>\frac{|f(a)|}{2}$ .

Predpokladáme, že je dané pevné $\varepsilon>0$ . Potom pre všetky $x$ , pre ktoré platí

$\left|x-a\right|<\min\{\delta, \varepsilon.\frac{f(a)^2}{2}\}$ platí aj

$\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(a)}\right|=\left|\frac{f(x)-f(a)}{f(x)f(a)}\right|<\frac{f(a)^2}{2}.\frac{2}{f(a)^2}.\varepsilon=\varepsilon$

Škoda, že som na niečo tak skvelé neprišiel sám. Dôkaz spojitosti $\frac{1}{x}$ je v podstate rovnaký.

"dokaz, ze ak $f$ je spojita v $a$ a $g$ je spojita v $f(a)$ , tak $g\circ f$ je spojita v $a$ ."

Tak to absolútne netuším ako. O tej zloženej funkcii neviem ja osobne povedať nič, iba to, že je zložená z g, f.

Rumburak

↑ BakyX:

Tu druhou část důkazu nemáš úplně správně.
Máme tedy $\delta>0$ takové, že pro každé $x \in U(a,\delta)$ platí $\left|f(x)\right|>\frac{|f(a)|}{2}$ , takže též

(1) $\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(a)}\right|=\left|\frac{f(x)-f(a)}{f(x)f(a)}\right|<\frac{2}{f(a)^2}|f(x)-f(a)|$ .

Nyní zvolme $\varepsilon>0$ a podívejme se na to z druhého konce. Když nalezneme $\delta'>0$ takové, aby pro každé $x \in U(a,\delta')$
platilo

(2) $\frac{2}{f(a)^2}|f(x)-f(a)| < \varepsilon$ ,

bude podle (1) náš důkaz hotov. Ono $\delta'>0$ musíme hledat tak, aby pro každé $x \in U(a,\delta')$

- byla splněna nerovnost (1) - k čemuž stačí, aby $\delta' \in (0, \delta]$ (tuto úvahu máš ještě správně) ,

- platila navíc nerovnost (2), kterou můžeme přepsat do tvaru

(3) $|f(x)-f(a)| < \frac {f(a)^2}{2} \varepsilon$ .

Pravá strana (3) (můžeme ji případně označit $\varepsilon_1$ ) je kladné číslo , takže odpovívající $\delta'>0$ existuje, protože funkce $f$
je spojitá v bodě $a$ . Avšak k doměnce, že se při tom uplatní podmínka $\delta' < \frac {f(a)^2}{2} \varepsilon$ , není žádný důvod.

***************

K důkazu spojitosti funkce $g\circ f$ složené ze dvou spojitých - velmi stručný návod:

Bude-li $x$ dosti blízko k $a$ , bude i $f(x)$ dosti blízko k $f(a)$ (protože $f$ je spojitá) a potom také $g(f(x))$ bude
dosti blízko k $g(f(a))$ (protože $g$ je spojitá). Ta "epsilon-delta gymnastika" tedy bude mít dvě logické úrovně.

Všechny tyto důkazy se dají nalézt v každé vhodné učebnici (v české literatuře např. Vojtěch Jarník: Diferenciální počet I,
což je klasika).

BakyX · 02. 11. 2012 19:08 — Editoval BakyX (02. 11. 2012 19:09)

↑ Rumburak:

Aha...No tak to som teda dobrý idiot.

Už chápem, prečo je to moje riešenie zle. Chápem to takto: Keby náhodou to minimum bolo $\varepsilon.\frac{f(a)^2}{2}$ , tak medzi týmto minimom a $\delta$ môžu ležať nejaké body, pre ktorú nemám zaistenú platnosť použitých odhadov. Chápem môj nedostatok správne ?

No a k tomu vášmu dôkazu. Stále niečo nechápem:

"Pravá strana (3) (můžeme ji případně označit $\varepsilon _1$ ) je kladné číslo , takže odpovívající $\delta'>0$ existuje, protože funkce $f$
je spojitá v bodě $a$ ."

No to existuje, avšak prečo bude menšie ako $\delta$ ?

Brano · 02. 11. 2012 21:23

↑ Rumburak:
To je v podstate presne technika dokazu, ze $1/x$ je spojita. Teda je to vecou vkusu, ako si clovek chce utriast celu tu teoriu aby bola konzistentne podana.

Rumburak

↑ BakyX:

Keby náhodou to minimum bolo $\varepsilon.\frac{f(a)^2}{2}$ , tak medzi týmto minimom a $\delta$ môžu ležať nejaké body, pre ktorú nemám zaistenú platnosť použitých odhadov.

Ano, to také. Ale zejména jde o to, že $\varepsilon.\frac{f(a)^2}{2}$ má - mnemotechnicky řečeno - vztah k ose y , zatímco ta různá hledaná $\delta$
mají analogický vztah k ose x.

"Pravá strana (3) (můžeme ji případně označit $\varepsilon _1$ ) je kladné číslo , takže odpovívající $\delta'>0$ existuje, protože funkce $f$
je spojitá v bodě $a$ ."

No to existuje, avšak prečo bude menšie ako $\delta$ ?

Když odhlédneme od předchozích úvah, tak ono $\delta'>0$ nalezené k číslu $\varepsilon _1$ tak, aby na odpovídajícím okolí bodu $a$
platila sama nerovnost (3), ještě nemusí být menší nebo rovno $\delta$ . My bychom to ale potřebobvali kvůli nerovnosti (2),
o níž se konstrukce důkazu opírá. Abychom toto zajistili, můžeme buďto vzít za "finální delta" číslo $\min \{\delta, \delta'\}$ ,
nebo již hledání čísla $\delta'$ zpřísnit o podmínku $\delta' \le \delta$ - tím se nic nezkazí.

Rumburak

↑ Brano:
To je pravda. Mým záměrem bylo obejít se bez věty o spojitosti složené funkce, a to spíše z cvičných než praktických důvodů,
protože mi je jasné, že ona věta je důležitá i sama o sobě, takže ji nelze z matematiky vyškrtnout.

Brano · 03. 11. 2012 14:33

↑ Rumburak:
Aha, chapem.

Inak ja som to myslel tak, ze by si BakyX dokazal tu vetu ako uzitocne cvicenie, nie ze by to obisiel iba odvolanim sa na dokaz niekde v ucebnici, kedze to vyzera, ze ma hlbsi zaujem o teoriu.

BakyX · 03. 11. 2012 20:44

↑ Brano:

Ja by som si to rád dokázal, ale skrátka...Som príliš hlúpy na to. Nejde mi to vôbec. Ide to úplne mimo mňa a budem rád, keď pochopím napísaný dôkaz.

Čo viem:

Pre ľubovoľné $\varepsilon_1>0$ existuje $\delta_1>0$ také, že pre všetky $x$ , pre ktoré platí $\left|x-a\right|<\delta_1$ , platí aj $\left|f(x)-f(a)\right|<\varepsilon_1$ .

Pre ľubovoľné $\varepsilon_2>0$ existuje $\delta_2>0$ také, že pre všetky $x$ , pre ktoré platí $\left|x-f(a)\right|<\delta_2$ , platí aj $\left|g(x)-g(f(a))\right|<\varepsilon_2$ .

Prosím vás. Ukážte mi nejaký spôsob, ako z týchto vecí dostať toto:

Pre ľubovoľné $\varepsilon_3>0$ existuje $\delta_3>0$ také, že pre všetky $x$ , pre ktoré platí $\left|x-a\right|<\delta_1$ , platí aj $\left|g(f(x))-g(f(a))\right|<\varepsilon_3$ .

Fakt netuším ako na to, nemám knihu, kde by bol dôkaz a snažiť sa to dokázať sám už fakt nevládzem. Je to mimo mňa.

Brano · 03. 11. 2012 22:57 — Editoval Brano (03. 11. 2012 22:58)

Podstata veci je v tom, ze sa nesmies stratit v oznaceniach - tie formalne zapisy sa snazia podat nejaku informaciu, ktoru podla mna chapes. A ta veta je intuitivne ocividna.

1. Ak $x$ je blizko $a$ , potom $f(x)$ je blizko $f(a)$ .
2. Ak $y$ je blizko $b$ , potom $g(y)$ je blizko $g(b)$ .
3. Dosadis $f(a)$ za $b$ a $f(x)$ za $y$ .
4. Dosledok: Ak $x$ je blizko $a$ , potom $g(f(x))$ je blizko $g(f(a))$ .

Skus to zapisat formalne, ak sa ti to nepodari, tak ti potom napisem riesenie.

BakyX · 03. 11. 2012 23:43 — Editoval BakyX (03. 11. 2012 23:44)

↑ Brano:

Tak intuitívne je to jasné od začiatku, je to vidieť aj zo spôsobu vykresľovania grafu zloženej funkcie...Lenže práve tá formálna stránka mi robí problém...Môže byť takto ? Tým mojím prvým krokom si nie som úplne istý.

Nech je dané $\varepsilon>0$ . Zo spojitosti $g(x)$ v bode $f(a)$ plynie, že existuje $\delta_1>0$ také, že pre všetky $f(x)$ spĺňajúce $\left|f(x)-f(a)\right|<\delta_1$ platí aj $\left|g(f(x))-g(f(a))\right|<\varepsilon$ . (1)

Nakoľko $f(x)$ je spojitá v $a$ , tak existuje $\delta_2>0$ také, že pre všetky $x$ pre ktoré $\left|x-a\right|<\delta_2$ platí aj $\left|f(x)-f(a)\right|<\delta_1$ . Pre tieto $x$ z okolia $U(a,\delta_2)$ platí preto aj (1).

Brano · 04. 11. 2012 01:28

Je to dobre. Ja by som to vsak prepisal s malou stylistickou upravou - nepisal by som "pre vsetky f(x)".

Njprv je fajn si napisat presne definicie, potom by nasledovala uvaha.

$\circ$ Pre lubovolne $\epsilon>0$
sa da najst $\mu>0$ take, ze pre vsetky $y$ ; ak $|y-f(a)|<\mu$ potom $|g(y)-g(f(a))|<\epsilon$ . Dalej k $\mu$ (tomu najdenemu)
$\circ$ existuje $\delta>0$ taka, ze pre vsetky $x$ plati; ak $|x-a|<\delta$ potom
$|f(x)-f(a)|<\mu$ a tym padom
$\circ$ $|g(f(x))-g(f(a))|<\epsilon$ .

Cize mame spojitost $g\circ f$ v $a$ .

PS: snad ta "graficka" uprava nie je matuca.

BakyX · 04. 11. 2012 01:47 — Editoval BakyX (04. 11. 2012 01:47)

↑ Brano:

Som rád, že je to už dobre. Ďakujem. Ešte mám maličký problém zmieriť s tým dosadením $y=f(x)$ , ale to si už nejako v hlave urovnám.

Ak sa môžem ešte spýtať, ako sa zvyčajne pomocou tejto definície dokazuje veta:

Ak $f$ a $g$ sú funkcie spojité v bode $a$ , tak aj $f.g$ je funkcia spojitá v bode $a$ ?

Brano · 04. 11. 2012 02:12

Pouzije sa $|f(x)g(x)-f(a)g(a)|=|f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)|\le |f(x)||g(x)-g(a)|+|g(a)||f(x)-f(a)|$ . V tom prvom clene sa potom odhadne $f(x)$ takto $|f(x)|<|f(a)|+\epsilon$ , kde $\epsilon$ je z definicie spojitosti $f$ . Potom si uz iba staci uzrejmit, ze $(|f(a)|+|g(a)|+\epsilon)\epsilon$ vie byt lubovolne male, t.j. ze pre lubovolne $\mu>0$ najdes $\epsilon>0$ splnajuce $(|f(a)|+|g(a)|+\epsilon)\epsilon<\mu$ .

Akonahle by si robil anlyzu vektorovych funkcii viac premennych, tak by sa to dalo aj inak.

Brano · 04. 11. 2012 02:18

BakyX napsal(a):
Ešte mám maličký problém zmieriť s tým dosadením $y=f(x)$

Ak nieco plati pre vsetky $y$ ktore cosi splnaju a $f(x)$ to splna, potom to plati pre $f(x)$ .

BakyX · 04. 11. 2012 03:13 — Editoval BakyX (04. 11. 2012 05:23)

↑ Brano:

Ďakujem za nový dôkaz. Vidím, že môj dôkaz "nie je ďaleko" od tohto. Ja som si definoval nové funkcie:

$f_1(x)=f(x)-f(a)$
$g_1(x)=g(x)-g(a)$

Z definície vidieť, že $f_1(a)=g_1(a)=0$ , preto veľmi ľahko dokážeme, že $f_1(x)$ , $g_1(x)$ , $f_1(x)g_1(x)$ sú spojité v $a$ . Navyše, konštantná funkcia $f(a)g(a)$ je spojitá v $a$ a tiež funkcie $f(a)g_1(x)$ , $g(a)f_1(x)$ , preto je spojitý v $a$ aj ich súčet, čo je $f(x)g(x)$ . No a k dôkazu spojitosti súčtu stačí použiť ten vzťah $|x+y|\leq|x|+|y|$ , čo ste použili aj vy.

V tom vašom ste myslím použili aj odhad $|g(x)-g(a)|<\varepsilon$ a za finálne $\delta$ vzali to menšie.

↑ Brano: Tak toto ani lepšie povedať nedalo. Výstižná formulácia. S týmto vysvetlím už chápem, prečo je váš spôsob zápisu dôkazu lepší.

Ak sa smiem spýtať, ste vysokoškolský profesor ?

Brano · 04. 11. 2012 17:06

↑ BakyX:
Pocas doktorandskeho studia som ucil, ale aktualne neucim.

Inak velmi pekny trik s posunom o konstantu.

vanok · 04. 11. 2012 18:22 — Editoval vanok (04. 11. 2012 18:39)

Ahoj ↑ BakyX:,
Len mala bibliograficka rada.
The Elements of Real Analysis, R.G. Bartle (Wiley )
I ked je to uz trochu starsia kniha, nic viac pedagogicke som este nevidel.

Dokonca je citatelna in line (pozri, ako prve, stranu 148 a nasledujuce)
http://fr.scribd.com/doc/32815810/Bartl … l-Analysis

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2012 18:10

Spojitosť funkcie v bode

#2 01. 11. 2012 18:17

Re: Spojitosť funkcie v bode

#3 02. 11. 2012 11:31

Re: Spojitosť funkcie v bode

#4 02. 11. 2012 14:21

Re: Spojitosť funkcie v bode

#5 02. 11. 2012 16:27 — Editoval Rumburak (02. 11. 2012 16:42)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#6 02. 11. 2012 19:08 — Editoval BakyX (02. 11. 2012 19:09)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#7 02. 11. 2012 21:23

Re: Spojitosť funkcie v bode

#8 03. 11. 2012 11:10 — Editoval Rumburak (03. 11. 2012 11:27)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#9 03. 11. 2012 11:19 — Editoval Rumburak (03. 11. 2012 11:20)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#10 03. 11. 2012 14:33

Re: Spojitosť funkcie v bode

#11 03. 11. 2012 20:44

Re: Spojitosť funkcie v bode

#12 03. 11. 2012 22:57 — Editoval Brano (03. 11. 2012 22:58)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#13 03. 11. 2012 23:43 — Editoval BakyX (03. 11. 2012 23:44)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#14 04. 11. 2012 01:28

Re: Spojitosť funkcie v bode

#15 04. 11. 2012 01:47 — Editoval BakyX (04. 11. 2012 01:47)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#16 04. 11. 2012 02:12

Re: Spojitosť funkcie v bode

#17 04. 11. 2012 02:18

Re: Spojitosť funkcie v bode

BakyX napsal(a):

#18 04. 11. 2012 03:13 — Editoval BakyX (04. 11. 2012 05:23)

Re: Spojitosť funkcie v bode

#19 04. 11. 2012 17:06

Re: Spojitosť funkcie v bode

#20 04. 11. 2012 18:22 — Editoval vanok (04. 11. 2012 18:39)

Re: Spojitosť funkcie v bode

Zápatí