Matematické Fórum

KajaHodik · 10. 11. 2012 13:51

Dobrý den, potřeboval bych pomoct s následujícím příkladem: Jsou dány kružnice k_1 (O_1;4cm), k_2 (O_2;2,5cm), lO_1 O_2l je 3cm se protínají ve dvou bodech. Označte T jeden z průsečíků. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC se základnou AB tak, aby platilo: A náleží k_1, B náleží k_2 a T byl těžiště trojúhelníka ABC.

Děkuju

BakyX · 10. 11. 2012 14:36

Ahoj.

Najprv dokáž, že uhol $ATB$ má veľkosť $120^\circ$ .

Následne použiješ to, že otočením bodu $A$ o $120^\circ$ alebo $-120^\circ$ dostaneš bod $B$ .

Otočíš preto jednu kružnicu okolo bodu $T$ o $120^\circ$ a $-120^\circ$ . Priesečník s druhou kružnicou je hľadaný vrchol ležiaci na nej. Spätným otočením nájdeš druhý vrchol.

Dôkaz správnosti riešenia: Na základe konštrukcie máme $TA=TB$ a $\angle ATB=120^\circ$ . Bod $T$ je preto stred kružnice opísanej rovnostranného trojuholníka $ABC$ a preto je aj jeho ťažiskom.

Arabela

Ahoj ↑ KajaHodik:,
všimnime si, že trojuholník ABC má byť rovnostranný s ťažiskom v bode T. Z toho vyplýva, že trojuholníky ATC a BTC sú rovnoramenné s vnútorným uhlom pri vrchole T s veľkosťou $120^\circ$ .
Hlavná myšlienka: Bod C je obrazom bodu A v otočení o $120^\circ$ (resp. $-120^\circ$ ) okolo bodu T. Keďže $A\in k_{1}$ , obraz bodu A v spomínanom otočení leží na obraze kružnice $k_{1}$ okolo bodu T. Obdobne s bodom B, len otáčanie kružnice $k_{2}$ okolo bodu T bude v opačnom zmysle ako otáčanie kružnice $k_{1}$ (o $-120^\circ$ , resp. o $120^\circ$ ).
Bod C dostávame ako prienik otočených kružníc ( $k^{'}_{1}\cap k^{'}_{2}$ ). Body A, B potom spätným otočením.