Matematické Fórum

VashtaNerada · 15. 11. 2012 11:57

Je dáno lineární zobrazení $A :\mathbb{R}^{4}\Rightarrow \mathbb{R}^{3}$

denované predpisy:
A (1; 1; -1; 0) = (0; 0; 0),
A (1; 2; -1; -2) = (-1; -3; 1),
A (1; 0; 0; -1) = (0; 0; 0),
A (1; 1; 1; 1) = (5; 8; 2).
Sestavte matici lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bázím prostoru $\mathbb{R}^{4}$ a $\mathbb{R}^{3}$

pokud chapu spravne tak standardní báze budou E = {(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)} pro $\mathbb{R}^{4}$
a F = {(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)} pro $\mathbb{R}^{3}$
ale jak na tu matici

LukasM · 15. 11. 2012 13:06

↑ VashtaNerada:
Z definice. Ta matice má ve sloupcích obsahovat obrazy std bázových vektorů R4, zapsané ve std bázi R3.

Takže tyhle obrazy bude potřeba najít. Tj. A(1,0,0,0)=? A(0,1,0,0)=? atd.

VashtaNerada · 15. 11. 2012 17:42

tohle je asi blbá otázka ale ty obrazy tedy najdu jak?

LukasM · 16. 11. 2012 14:30

↑ VashtaNerada:
To není blbá otázka, využiješ linearity A. Ty znáš obrazy čtyř nějakých vektorů. Kdyby se ti z těchto vektorů povedlo nakombinovat ty požadované vektory std báze, tak máš vyhráno. Označím vektory jejichž obrazy jsou zadané jako $x_1,x_2,x_3,x_4$ . Dejme tomu, že najdu čísla $c_1,c_2,c_3,c_4$ tak, že první vektor std báze $e_1=c_1\cdot x_1+c_2\cdot x_2+c_3\cdot x_3+c_4\cdot x_4$ . Když jsou dva vektory stejné, jsou stejné i jejich obrazy, takže platí taky $Ae_1=A(c_1\cdot x_1+c_2\cdot x_2+c_3\cdot x_3+c_4\cdot x_4)$ . No, jenže A je lineární, takže to jde upravit na $Ae_1=c_1\cdot Ax_1+c_2\cdot Ax_2+c_3\cdot Ax_3+c_4\cdot Ax_4$ . Tím máš rovnici pro hledaný obraz $Ae_1$ , do které můžeš dosadit ty zadané obrazy. Tak stvoříš první sloupec matice.

VashtaNerada · 19. 11. 2012 12:52

takže za ty x dosadím známé vectory A
$Ae_{1}=c_{1}\cdot (1,1,-1,0)+c_{2}\cdot (1,2,-1,-2)+c_{3}\cdot (1,0,0,-1)+c_{4}\cdot (1,1,1,1)$
spravně?

LukasM · 19. 11. 2012 16:26

↑ VashtaNerada:
Jak by to mohlo být správně? A je zobrazení do R3, takže vektor $Ae_1$ musí mít tři složky. To cos napsala na pravou stranu má složky čtyři.

Správně to tam dosadit je nutné, ale stačit ti to nebude, je hlavně nutné najít ty koeficienty $c_1..c_4$ .

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2012 11:57

Matice lineárního zobrazení

#2 15. 11. 2012 13:06

Re: Matice lineárního zobrazení

#3 15. 11. 2012 17:42

Re: Matice lineárního zobrazení

#4 16. 11. 2012 14:30

Re: Matice lineárního zobrazení

#5 19. 11. 2012 12:52

Re: Matice lineárního zobrazení

#6 19. 11. 2012 16:26

Re: Matice lineárního zobrazení

Zápatí