Matematické Fórum

Dargorar · 15. 11. 2007 22:22 — Editoval Kondr (15. 11. 2007 23:12)

Nevedel by prosim nekdo?

mejme centrum grupy
$Z(G)=\{g\in G | (\forall h \in G)(g\cdot h = h\cdot g )\}$
vime ze Z(G) je podgrupa grupy G a ze relace ~ je definovana vztahem
$a\sim b = (\exists z \in Z(G))(a \cdot z = b)$ ~ je kongruencí na G. Take víme ze Z(G) je normalni podgrupou te grupy G.
Dale mame definovano
$Inn(G) = \{\varphi_g| (\forall x,g\in G)(\varphi_g(x)=g\cdot x\cdot g^{-1})\}$
a vime ze se jedna o normalni podgrupu Aut(G) pozn. Aut = automorfismus s o - skladani zobrazeni a ukolem je dokazat ze: Inn(G) je isomorfni s G/~ ,to znamena najit nejake zobrazeni mezi temito (pod)grupami takove, ze se jedna o bijektivni homomorfismus - ukazat ze se o nej jedna.

Kondr · 16. 11. 2007 00:13

Ke každé třídě T rozkladu G/~ můžu přiřadit zobrazení $\varphi_g$ z Inn(G) takové, že g je z T.
Nyní musíme ukázat
1) že je to opravdu zobrazení - tj. že kdybychom z T vybrali jiný prvek g', že dostaneme zobrazení $\varphi_{g'}=\varphi_{g}$ .

2)že je toto zobrazení injektivní - tedy že když g a h leží v jiných třídách, pak
$\varphi_{g}\neq\varphi_{h}$

3)že je surjektivní - tedy že pro každé zobrazení $\varphi_g$ existuje taková třída, která se na něj zobrazí.

Zkus se s tím poprat sám (3. část je úplně zřejmá, 1. jde ukázat přímo, druhá obměnou).

Dargorar · 17. 11. 2007 01:00

Diky moc, ani nevis jak mi to pomohlo.

Ale chtel bych te jeste poprosit o radu:

U izomorfismu (mezi dvema grupami, ale asi i obecne) je jedno odkud kam vede (plati v obema smery), ze jo?

u dokazovani 1) a 2) jsem narazil na to, ze predpokladam(definice te kongruence) a.z = b , a^-1.z^-1 = b^-1 ,mohu toto predpokladat z toho ze kongruence musi byti slucitelna s inverzni operaci(v obou rovnicich je pouzite stejne a,b i z).

U homorfismu by se melo jeste dokazat slucitelnost s binarni operaci '.' , nevis jak by to melo asi vypadat.

Predem dik.

Kondr · 18. 11. 2007 20:23

1) Ano, A je izomorfni s B <=> B je izomorfni s A.

2) Do rovnice a.z = b můžeš místo a a b napsat klidně a^-1, b^-1; protože je Z(G) grupa, leží v ní s každým z i z^-1, proto můžeš místo z napsat z^-1.

3) Máš pravdu... pro naše zobrazení f musíme ještě ukázat, že když vezmeme třídu T, která obsahuje prvek g a třídu U, která obsahuje prvek h, že bude platit
$f(TU)=f(T)\circ f(U)$ .
Na levé straně máme zobrazení
$\varphi_{gh}(x)=gh\cdot x\cdot (gh)^{-1}$
na pravé
$(\varphi_g\circ \varphi_h)(x)=g\cdot h\cdot x\cdot h^{-1}g^{-1}$
Totožnost těchto zobrazení je zřejmá.

Dargorar · 18. 11. 2007 21:22

To Kondr:

3) Tu trojku mam taky tak, chtel jsem si overit, ze to delam dobre, ze uz to chapu.

Mockrat Ti dekuju!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Dargorar · 21. 11. 2007 17:26

To Kondr:

Mohl bych te prosim jeste pozadat o pomoc, narazil jsem na dalsi problem pri dokazovani tohoto izomorfismu a to ze musim dokazat nasleduji implikaci:

φg(x) = φg‘(x) => g~g’

Nejde mi to dokázat, nebotˇ pri tomto dukazu nemohu pouzit definici vztahu te kongruence, protoze prave tu mam za ukol dokazat.

Kondr · 21. 11. 2007 22:28

Implikace

φg(x) = φg‘(x) => g~g’

říká, že φ je injektivní. To lze formulovat i jinak (viz 2) z mého prvního příspěvku), důkaz toho obměněného tvrzení je jednodušší.

Dargorar · 21. 11. 2007 23:29

No, obměněná implikace je tato:

gאg’ => φg(x) ≠g‘(x)

pozn. Ten znak mezi g a g' symbolizuje "nebyt v kongruenci"

Ale s tim si take nevim rady, ponevadz opet nemohu pouzit vztahu z definice te kongruence .
Ja jsem se prve snazil ten dukaz te 2, injektivity trochu obejit => chyba.
Neporadil bys mi prosim aspon myslenku toho dukazu, bez toho vztahu te kongruence me nic nenapada.

Kondr · 22. 11. 2007 09:36

Tak se to asi přece jen bude lépe formulovat takto:
Předpokládejme, že φg(x) = φh(x) a ukažme že pak g~h.
Pro zjednodušení zápisu g' a h' jsou inverze g a h.
Rovnost kterou máme nám říká, že pro všechna x je
gxg'=hxh', po vynýsibení g' zleva a h zprava
xg'h=g'hx. Odtud vidíme, že t=g'h je ze Z(G), proto
h=tg,
g~h.
A jsme hotovi :)

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2007 22:22 — Editoval Kondr (15. 11. 2007 23:12)

Izomorfismus mezi grupami

#2 16. 11. 2007 00:13

Re: Izomorfismus mezi grupami

#3 17. 11. 2007 01:00

Re: Izomorfismus mezi grupami

#4 18. 11. 2007 20:23

Re: Izomorfismus mezi grupami

#5 18. 11. 2007 21:22

Re: Izomorfismus mezi grupami

#6 21. 11. 2007 17:26

Re: Izomorfismus mezi grupami

#7 21. 11. 2007 22:28

Re: Izomorfismus mezi grupami

#8 21. 11. 2007 23:29

Re: Izomorfismus mezi grupami

#9 22. 11. 2007 09:36

Re: Izomorfismus mezi grupami

Zápatí