Matematické Fórum

barca33 · 16. 02. 2013 17:11

nEVÍTE SI NĚKDO PROSÍM RADY S ÚLOHOU : vedte bodem M ( 2,1) tečny ke kružnici s rovnicí ( x-5)^{2}+ ( y-10)^{2}=9 DĚKUJI moc

Arabela · 16. 02. 2013 17:24

Ahoj ↑ barca33:,
toto by malo ísť cez hľadanie dotykových bodov. Nech $T[x_{t},y_{t}]$ . Jeden vzťah medzi $x_{t},y_{t}$ získaš dosadením do rovnice kružnice (dotykový bod T leží na kružnici). Ďalej možno využiť rovnicu dotyčnice ku kružnici v danom bode T a skutočnosť, že M leží na tejto dotyčnici...

barca33 · 16. 02. 2013 18:17

↑ Arabela:
moc vám děkuji za pomoc , ale v textu se moc neorientuji nemohla by jste mi rozepsat postup ? Děkuji moc

bonifax

↑ barca33:

Ahoj,

zjistíš rovnici poláry, potom na kružnici najíst průsečíky a potom z nich určíš tečny.

$(x_1-m)(x-m)+(y_1-n)(y-n)=r^2$

$(2-5)(x-5)+(1-10)(y-10)=9$

$(-3)(x-5)+(-9)(y-10)=9$

$-3x+15-9y+90=9$

$-3x-9y+96 => x+3y-32$

Pak si rovnici kružnice převedeš na obecný tvar a řešíš soustavu rovnic vyjdou ti body dotyku $T_1$ a $T_2$

$( x-5)^{2}+ ( y-10)^{2}=9$
$x+3y=32$

snad je to správně..D:

barca33 · 16. 02. 2013 22:50

↑ bonifax:
tak to nevím , protože jsem se v tom trošku ztratila :D rovcnice má vyjit 4x-3y-5=0 x=2

bonifax

↑ barca33:

Ano vychází to. Napiš konkrétně s čím máš problém, jinak ti nemůžu pomoct.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … %2B3y%3D32

$T_1 [2,10]$
$T_{2}\left[ \dfrac {37} {5},\dfrac {41} {5}\right]$

$t_1: x=2$
$t_2: 4x-3y-5=0$

barca33 · 16. 02. 2013 23:39

↑ bonifax:
nechápu jak mám spočítat ty body T a jak jsme se dostali k rovnici t1=x=2

zdenek1 · 16. 02. 2013 23:42

↑ barca33:
Žádné body nepočítej, u kružnice je to naprosto nevhodný postup.

Tečna prochází bodem $M$ , proto její rovnice bude
$t:a(x-2)+b(y-1)=0$
$t:ax+by-2a-b=0$ (1)
Vzdálenost tečny od středu je rovna poloměru.
Střed $S[5;10]$ , poloměr $r=3$
$d(t,S)=\frac{|5a+10b-2a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3$
$|3a+9b|=3\sqrt{a^2+b^2}$
$|a+3b|=\sqrt{a^2+b^2}$ umocníš
$a^2+6ab+9b^2=a^2+b^2$
$6ab+8b^2=0$
$b(3a+4b)=0$
$b=0$ nebo $b=-\frac{3a}4$

dosadíš do (1)
$t_1:ax-2a=0\ \Rightarrow\ x-2=0$

$t_2:ax-\frac{3a}4y-2a+\frac{3a}4=0\ \Rightarrow\ 4x-3y-5=0$

Arabela · 16. 02. 2013 23:44

↑ barca33:,
riešenie pomocou poláry, ktoré uviedol bonifax, je správne. Ja som ponúkla iný postup:
Nech dotykový bod $T[x_{1},y_{1}]$ .
Napíšme rovnicu dotyčnice ku kružnici v jej bode podľa známeho vzorca
t ... $(x_{1}-5)(x-5) + (y_{1}-10)(y-10) = 9$ .
Bod M má ležať na tejto dotyčnici, takže jeho súradnice musia rovnici dotyčnice vyhovovať, musí teda platiť
$(x_{1}-5)(2-5) + (y_{1}-10)(1-10) = 9$ .
Po úprave dostávame
$x_{1}+3y_{1}-32=0$ .
To je jeden vzťah medzi súradnicami bodu T.
Druhý vzťah dostaneme, keď si uvedomíme, že bod T patrí kružnici k, musí teda platiť:
$(x_{1}-5)^{2}+(y_{1}-10)^{2}=9$ .
Po úprave dostávame
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-10x_{1}-20y_{1}+116=0$ .
To je druhý vzťah medzi súradnicami bodu T.
Pre súradnice $x_{1}, y_{1}$ máme teda dve rovnice, jednu lineárnu a druhú tzv. bikvadratickú.
Túto sústavu rovníc riešime dosadzovacou metódo.
Dostaneme dve riešenia:
$x_{1}= 2 , y_{1}=10$ ,
alebo
$x_{1}= \frac{37}5{} , y_{1}=\frac{41}5{}$ .
Ak teraz dosadíme do rovnice dotyčnice a upravíme, dostaneme obe riešenia.

((:-)) · 16. 02. 2013 23:52

↑ zdenek1:

Vaše riešenie nie je jednoduchšie ako riešenie cez body dotyku...

zdenek1 · 17. 02. 2013 07:38

↑ ((:-)):

Ve skutečnosti je a to nejméně ze dvou důvodů.
a) vyhnu se počítání bodů dotyku, které na nic nepotřebuju
b) vyhnu se počítání soustavy rovnic, kterou např. ↑ bonifax: řeší radši pomocí Wolframu, než by ji počítal ručně.

Jediné, co dělám já, je řešení celkem primitivní kvadratické rovnice.

Arabela

Ahoj ↑ zdenek1:,
Tvoje riešenie je určite menej pracné. Myslím však, že ako "prvý dotyk" s danou problematikou nie je pre našu riešiteľku metodicky najvhodnejšie. Riešenie cez dotykové body je názornejšie a všeobecnejšie, a preto pre začiatočníka vhodnejšie. To, že dotyčnica špeciálne kružnice je priamka vzdialená od stredu kružnice o dĺžku polomeru, je poznatok, ktorý môže často výpočty uľahčiť (o tom neskôr). Navyše, substitúcia $x_{1}-m=a$ , $y_{1}-n=b$ vo vzorci pre rovnicu dotyčnice ku kružnici v danom bode je tak trochu "triková" - presúva pozornosť od bodov dotyku k abstraktnejším $a, b$ . Je to výborné pre "fajnšmekrov", možno vhodné pre tých, ktorí sa mienia matematikou aj v budúcnosti zaoberať, ale nie pre začiatočníkov.
Klobúk dole pred elegantným riešením, ale, ešte raz opakujem, pre začiatočníka nevhodným.

barca33 · 17. 02. 2013 09:23

↑ Arabela:
mohu vás poprosit o rozepsání té dosazovací metody a i to dosazení do dotyčnice prosím ? nepochopila jsem to přesně. JInak moc děkuji váš postup je pro mě snažší.

((:-)) · 17. 02. 2013 10:15 — Editoval ((:-)) (17. 02. 2013 10:37)

↑ zdenek1:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

barca33 · 17. 02. 2013 10:20

↑ ((:-)):
pokud vás všechny můžu poprosit děkuji vám za rady , ale myslám , že není za potřebí se hned hádat , když každý řeší úlohu po svém. Raději bych byla ráda , kdyby mi někdo pomohl s těmi tečnými body děkuji!!!!

Arabela · 17. 02. 2013 10:30

↑ barca33:
Máme teda dva vzťahy:
$x_{1}+3y_{1}-32=0$
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-10x_{1}-20y_{1}+116=0$
Z prvého vyjadrím $x_{1}$ .
$x_{1}=32-3y_{1}$
Dosadíme do druhej rovnice
$(32-3y_{1})^{2}+y_{1}^{2}-10(32-3y_{1})-20y_{1}+116=0$
$1024-192y_{1}+9y_{1}^{2}+y_{1}^{2}-320+30y_{1}-20y_{1}+116=0$
$10y_{1}^{2}-182y_{1}+820=0$
$5y_{1}^{2}-91y_{1}+410=0$
$D=(-91)^{2}-4.5.410=81$
$y_{1}=\frac{91\mp 9}{2}$
$x_{1}=32-3y_{1}=\ldots$
$T[2;10], T'[\frac{37}{5};\frac{41}{5}]$
$T_{1}[2;10], T_{2}[\frac{37}{5};\frac{41}{5}]$
No a teraz tie dotyčnice:
$t_{1}\ldots (2-5)(x-5)+(10-10)(y-10)=9$
$x=2$

a obdobne druhú dotyčnicu...

barca33 · 17. 02. 2013 10:38

↑ bonifax:
tečně body jsem si spočíala a chápu , ale nevím , jak dostanu tu výslednou rovnici
$t_1: x=2$ a $t_2: 4x-3y-5=0$ a $t_2: 4x-3y-5=0$ . Jen tyhle dva kroky jestli by jste mi mohl objasnit . Děkuji

Arabela · 17. 02. 2013 10:49

↑ barca33:
Dodám ešte aj riešenie pre druhú dotyčnicu, nech máš aspoň jeden príklad kompletne:
$t_{2}\ldots (\frac{37}{5}-5)(x-5)+(\frac{41}{5}-10)(y-10)=9$
$\frac{12}{5}(x-5)+(-\frac{9}{5}) (y-10)=9$
$12(x-5)-9(y-10)=45$
........................
$4x-3y-5=0$

barca33 · 17. 02. 2013 10:51

↑ Arabela:
moc se omlouvám, že vás takhle otravuji , ale s tou druhou tečnou nevím.

Arabela · 17. 02. 2013 10:54

↑ barca33:
dosadzuješ $x_{1},y_{1}$ do vzorca pre rovnicu dotyčnice ku kružnici v jej bode T
$t\ldots (x_{1}-m)(x-m)+(y_{1}-n)(y-n)-r^{2}=0$

barca33 · 17. 02. 2013 10:55

↑ Arabela:
děkuji mockrát , moc jste mi pomohla. :-)

nejsem_tonda

↑ barca33:
Ahoj,
ja bych ulohu resil jeste trochu jinak.

Myslenka: Bodem M prolozime primku a budeme pocitat pruseciky kruznice a primky (to vede na kvadratickou rovnici). Protoze se ma jednat o tecnu, budeme pozadovat, aby vznikla rovnice mela prave jedno reseni, tj. budeme pozadovat, aby jeji diskriminant byl roven 0.

Realizaze: Vsechny primky jdou popsat rovnici y=kx+q, kde k,q jsou parametry, nebo jsou svisle. To se mi ale trosku nelibi (bylo by potreba zatnout zuby a chvili pocitat), tak si situaci posunu tak, aby se mi rovnice zjednodusila. Napriklad kdyby tecna misto bodem M prochazela pocatkem (bodem [0,0]), bude jeji rovnice mit jen tvar y=kx nebo bude svisla. Tak to udelam:

(Cervene jsou nove osy a nove souradnice. Z bodu M=[2,1] jsme udelali pocatek, takze ze stredu kruznice [5,10] chceme udelat bod [3,9])

V cervenych souradnicich teda mame: M=pocatek=[0,0], kruznice: $(x-3)^2+(y-9)^2=9$ . Ted teda vsechny primky prochazejici cervenym pocatkem se daji popsat rovnici y=kx, nebo jde o svislou primku. Prvne vypocet pro y=kx:

Pocitani pruseciku kruznice a primky je totez jako resit rovnici $(x-3)^2+(kx-9)^2=9$ .
Upravim: $(1+k^2)x^2 + (-6-18k)x + 81 = 0$ (btw upravu delam rovnou tak, ze sbiram cisla, ktera se objevi pred x^2, pak sbiram cisla, ktera se objevi pred x a nakonec sbiram osamocena cisla)
Pozaduju, aby tato rovnice mela prave jedno reseni, tj. hledam k takove, aby diskriminant byl roven 0.
Diskriminant: $(-6-18k)^2-4\cdot81(1+k^2) = 216k - 288$
Pozaduju, aby byl diskriminant roven 0: $216k - 288 = 0$ , $k=\frac43$

Ted jeste overim, jestli svisla primka taky neni nahodou tecna (svisla primka nejde napsat ve tvaru y=kx).
Rovnice svisle primky: x=0
Pocitam pruseciky: $(-3)^2+(y-9)^2=9$ je totez jako $(y-9)^2=0$
Nic nepocitam, vidim, ze rovnice ma prave jedno reseni, takze jde o tecnu. (Koneckoncu jsem to mohl vedet uz drive, kdyz si dokazu situaci predstavit)

Nakonec zbyva prenest se zpatky do puvodnich cernych souradnic. V nich ma tecna o cervene rovnici x=0 cernou rovnici x=2. Tecna o cervene rovnici $y=\frac43x$ ma cernou rovnici $y=\frac43x+q$ , pricemz q urcim z toho, ze tecna bude prochazet bodem M=[2,1]:
Dosadim M: $1=\frac43\cdot2 + q$ , $q=-\frac53$
Rovnice druhe tecny v cernych souradnicich: $y=\frac43x-\frac53$

Co by se stalo, kdyby me nenapadlo pracovat v cervenych souradnicich? Nic, jenom bych musel trochu vic zatnout zuby a pocitat.
Proc to vsechno pisu? Protoze ja si toho chci pamatovat co nejmin. Nemusim si pamatovat vztah pro vzdalenost primky a bodu (Zdenkovo reseni), nemusim si pamatovat rovnici tecny (reseni od Arabely) a nemusim ani vedet, co je to polara (reseni od bonifax).