Matematické Fórum

Witiko · 12. 03. 2013 15:09 — Editoval Witiko (12. 03. 2013 15:21)

Zdravím,

rád bych se zeptal na logicky odůvodněný postup, kterým dojdeme k:
$e = \lim_{n\to\infty } (1 + \frac{1}{n})$

když jediným naším požadavkem je:
$e^{x} = \frac{de^{x}}{dx}$

Chápu princip i fungování funkce e^x, ale naprosto nechápu postup, jakým se od druhé rovnosti k druhé uvedené (nebo naopak) došlo. Ve škole nám to vysvětlovali na funkci každoročního 100% zůročení při rozdělení roku na ∞ úrokových období. Mám nicméně pocit, že tam tu spojitost stále nespatřuji (nebo se vlastnost rovnosti hodnoty a derivace funkce e^x v libovolném bodě zjistila náhodně až po objevení čísla e?)

Předem děkuji

martisek · 12. 03. 2013 15:50

↑ Witiko:

Jen naznačím, protože podrobné vysvětlení by zabralo cca dvě strany dost těžkého matematického textu.

Je-li $e = \lim_{n\to\infty } (1 + \frac{1}{n})$

dá se dokázat, že

$\lim_{h \to 0} \frac {e^h-1} {h}= 1$

(právě tento důkaz je dost těžký a pracný). Pak už je to celkem jednoduché:

$\frac{de^{x}}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac {e^{x+h}-e^x} {h}=\lim_{h \to 0} \frac {e^xe^h-e^x} {h}=\lim_{h \to 0} \frac {e^x(e^h-1)} {h}=e^x$

vanok · 12. 03. 2013 16:15 — Editoval vanok (12. 03. 2013 16:17)

Ahoj ↑ Witiko:,
Tu mas zaujimave citanie

Witiko · 12. 03. 2013 16:57 — Editoval Witiko (12. 03. 2013 16:58)

↑ martisek:
Skvělé! Pokud to skutečně platí, pak je vzájemný vztah zřejmý. Dohledám si a pokusím se pojmout zmiňovaný důkaz.

↑ vanok:
Čítal som. Nikde som si tam ale nevšimol odseku, ktorý by vysvetľoval, ako sa od požiadavky na $e^{x} = \frac{de^{x}}{dx}$ dostaneme matematicky k $e = \lim_{n\to\infty } (1 + \frac{1}{n})$ alebo obrátene.

vanok · 12. 03. 2013 17:15 — Editoval vanok (12. 03. 2013 17:15)

Ten dokaz najdes v kazdej dobrej knihe uvodu do matematickej analyzy.
Aj cez Google sa da nieco najst.

martisek

↑ Witiko:

Důkaz rovnosti

$\lim_{h \to 0} \frac {e^h-1} {h}= 1$

stejně jako důkaz tvrzení, že

$\lim_{n\to\infty } (1 + \frac{1}{n})^n$

existuje, je vlastní a může být tudíž použita k definici nějakého čísla, lze najít např. ve starší ale skvělé knize

Jarník, V.: Diferenciální počet I, Academia, Praha 1974.

Rumburak

↑ Witiko:

Zdravím také.

Existují různé cesty, jak tyto dva vztahy spojit. Mně se nejvíc líbí následující, kterou se pokusím nastínit:

1) Zaujměme stanovisko, že

- mocninu známe pouze pro racionální exponent,
- neznáme žádnou exponenciální ani logaritmickou funkci,
- neznáme ani Eulerovo číslo $\mathrm{e}$ ,
- známe obecné věty ze základů diferenciálního a integrálního počtu (pojednávající o limitách, derivacích a integrálech obecně).

2) Definujme integrálem (třeba Riemannovým) jistou funkci

$L(x) := \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} , x \in (0, +\infty)$ (pro $x \in (0, 1)$ využijeme konvenci $\int_a^b = -\int_b^a$ ).

Zřejmě tedy $L'(x) = \frac{1}{x}$ . O funkci $L$ se dá navíc dokázat, že je rostoucí, spojitá, jejím oborem hodnot je $\mathbb{R}$ . Další její vlastností je,
že pro libovolná $x, y \in (0, +\infty)$ , $c$ racionální jsou splněny rovnice $L(xy) = L(x) + L(y) , L(x^c) = cL(x)$
Všechny uvedené vlastnosti funkce $L$ lze odvodit pouze ze základních obecných vět diferenciálního a integrálního počtu (odmyslíme-li si
algebraické základy, na nichž tyto partie stojí).

3) Z předchozího plyne, že $L$ je funkce prostá a proto k ní existuje funkce inversní - označme ji $E$ . Takže $E$ je funkce rovněž prostá,
zobrazující $\mathbb{R}$ na $(0, +\infty)$ . Opět pouze pomocí obecných vět ze základů analýzy se dají dokázat další vlastnosti funkce $E$ :
je rostoucí, má všude derivaci splňující $E'(x) = E(x)$ , jsou splněny rovnice $E(\xi + \eta) = E(\xi) E(\eta) , E(c\xi ) = $E(\xi)$^c$
pro libovolná $\xi, \eta \in \mathbb{R}$ , $c$ racionální.

4) Jestliže v rovnici $$E(\xi)$^c = E(c\xi)$ , $c$ racionální, položíme $\xi = L(x), x > 0$ , dostaneme (ježto $E(L(x)) = x$ )

(4.1) $x^c = E(cL(x))$ .

Pravá strana této rovnice (zdůrazněme, že pro $x > 0$ ) je definována též pro reálná čísla $c$ , které nejsou racionální. Rovnici (4.1) tak můžeme brát
za definici spojitého rozšíření mocniny i na tyto případy.

5) Položme $\mathrm{e} = E(1)$ , tedy podle bodů 3, 4 je $\mathrm{e^c} = $E(1)$^c = E(c\cdot 1) = E(c)$ pro každé $c \in \mathbb{R}$ , takže podle bodu 3
je $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$ .

6) Důkaz rovnosti $\mathrm{e}=\lim_{n\to\infty } $1 + \frac{1}{n}$^n$ :

Jak již bylo uvedeno, platí $L'(x) = \frac{1}{x}$ (podle věty o derivaci integrálu podle horní meze), speciálně $L'(1) = 1$ .

Když tutéž derivaci budeme počítat z definice derivace, dostaneme

$L'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{L(1 + h) - L(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{L(1 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\,L(1 + h) = \lim_{h \to 0} L$(1 + h)^{\frac{1}{h}}$$ ,

porovnáním obou výsledků máme $1 = \lim_{h \to 0} L$(1 + h)^{\frac{1}{h}}$$ a dále

$\mathrm{e}=E(1) = E$\lim_{h \to 0} L\((1 + h)^{\frac{1}{h}}$\) = \lim_{h \to 0}E$ L\((1 + h)^{\frac{1}{h}}$\) = \lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{t \to +\infty}$1 + \frac{1}{t}$^t$ .

Rumburak · 13. 03. 2013 11:49

↑ Rumburak: Doplněno ...

martisek · 13. 03. 2013 11:55

↑ Rumburak:

Z metodického hlediska to má trochu zádrhel - k definici e potřebujete integrál (a ještě jako funkci horní meze). Takže k tomu integrálu musíte dospět bez znalosti čísla e. Ne že by to nešlo, ale učit se to tak asi nedá.

Ale je to škoda - jako zajímavost moc pěkné :-)

Rumburak · 13. 03. 2013 15:24

↑ martisek:

S tím metodickým hlediskem samozřemě souhlasím, k procvičování probírané látky je potřeba co nejdříve mít
k disposici pestrou zásobu funkcí a poznatků o nich, proto čekat až na vybudování integrálu by se nehodilo.

vanok · 13. 03. 2013 15:54 — Editoval vanok (13. 03. 2013 18:35)

Poznamka:
Najcastejsie sa fonkcia exp definuje jednym z tychto sposobov
1) jedine direntialne riesenie diferentialnej rovnice f'=f, zo zaciatnou podmienkou f(0)=1
2)Ako reciprocna bijekcia funkcie ln
3)Ako jedina spojita funkcia z $\mathbb{R}$ do $\mathbb{R_{+}}$ , ktora transformuje sucet na sucin EDIT zabudol som pridat taka ze f(1)=e
4) ako sucet nekonecnej potencnej rady nekonecneho polomeru konvergencie:
$\exp(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$

Ktora je podla vas najpristupnejsia pre studentov?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak

↑ vanok:

Ahoj.

S výukou této látky nemám profesionální zkušenost. Osobně mám nejraději takové definice, u nichž není velký problém
s důkazem existence a jednoznačnosti a které jsou zároveň přirozené (důvod k jejich zavedení, a to použitým způsobem,
je patrný). Ne vždy lze ale uspokojit všechna hldiska - zde například definice 4 mi v porovnání s ostatními příjde jako
nejméně přirozená, ale zase má z nich asi nejjednodušší tu stránka existence a jednoznačnosti.

martisek · 13. 03. 2013 17:22

↑ vanok:

"Najcastejsie sa funkcia exp definuje jednym z tychto sposobov..."

Je-li tomu tak, pak tedy na mně byla celý můj studentský život páchána výuka zcela výjimečná a tuto výjimečnou výuku páchám i já na svých studentech - totiž tím, že exponenciální funkci zavádím jako e^x, kde

$e=\lim_{n\to\infty } (1 + \frac{1}{n})^n$

Ono to zpočátku sice vypadá poněkud zběsile (proč proboha zrovna takováto limita, když máme spoustu jiných hezkých čísel), ale záhy se to vyjasní. Navíc to má jednu nespornou výhodu - číslo e se zavede tak brzo, jak to jenom jde, a je možné s ním okamžitě pracovat. Pokud bychom ho zaváděli tak, jak je uvedeno v bodech 1 a 4, museli bychom se bez něj obejít až do diferenciálních rovnic resp. nekonečných řad. To si sice dovedu představit v nějaké teoretické výstavbě, ale ve výuce to prostě nejde. Stejně tak bychom mohli (abychom byli důslední) zavádět i sinus, kosinus apod. Na čem bychom se pak měli učit derivovat a integrovat?

Zavádět exp jako inverzi k logaritmu mi připadá velmi zběsilé. Pokud se to tak dělá "nejčastěji", pak jsem zřejmě značně výjimečný člověk, protože jsem to za třicet let co učím, ještě nikoho takto dělat neviděl.

A poslední poznámka - exp rozhodně není jediná spojitá funkce, která převádí součet na součin - to dovede exponenciála s libovolným přípustným základem, na to nepotřebuju Eulerovo číslo.

Stýv · 13. 03. 2013 18:03

martisek napsal(a):
...exponenciální funkci zavádím jako e^x...

a jak definuješ e^x pro iracionální x?

vanok · 13. 03. 2013 18:55 — Editoval vanok (13. 03. 2013 19:28)

↑ martisek:
ahoj
Mas pravdu, co sa tyka 3) som zabudol pridat taka ze f(1)=e

Inac, ine co pises vypliva z prvej konstrukcii, co som uviedol.
a potom pochopitelne to zavisi od publika co mas pred sebou.
Vsimol som si ze stredoskolske programy na Sk, Cz su menej narocne ako mozu byt inde.

A napr, vo fr, sa viac menej, taky pragmaticky pristup, ako pises, pouziva na strednej skole... ale iste, ze je to dostatocne pre nematematikov.

martisek · 13. 03. 2013 19:04

↑ Stýv:

Jako každou jinou mocninu s reálným exponentem - jako lim e^{x_n}, kde x_n je racionální a lim x_n = x.

Andrejka3 · 14. 03. 2013 07:21

↑ vanok:
Ahoj,
mohu mít dotaz ohledně té 2)? Co se myslí reciprokou bijekcí ln? Znamená to, že už máme nějak definovanou fci ln ? Pokud ano, jak?
Díky.

vanok · 14. 03. 2013 10:02

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Ako napr. tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Rumburak

↑ martisek:

Zavádět exp jako inverzi k logaritmu mi připadá velmi zběsilé.

Nám byla funkce log (jinak ln) zavedena prof. J. Lukešem (tehdy ale profesorem ještě nebyl) poměrně brzy, a sice větou

"Existuje právě jedna funkce (označme ji log) taková, že ...

Důkaz. Prozatím odložíme. "

A z log. funkce teprve odvozena exponenciální .

Později byl korektní důkaz skutečně podán, už nevím, zda přes funkční řady nebo přes integrály.
Obdobně byly zavedeny goniometrické funkce. Nerad bych se mýlil, ale mám za to, že Jarník v D1 přistupuje
k prvnímu zavedení g. f. tímtéž způsobem.

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2013 15:09 — Editoval Witiko (12. 03. 2013 15:21)

Postup k výpočtu Eulerova čísla

#2 12. 03. 2013 15:50

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#3 12. 03. 2013 16:15 — Editoval vanok (12. 03. 2013 16:17)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#4 12. 03. 2013 16:57 — Editoval Witiko (12. 03. 2013 16:58)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#5 12. 03. 2013 17:15 — Editoval vanok (12. 03. 2013 17:15)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#6 12. 03. 2013 17:18 — Editoval martisek (12. 03. 2013 17:21)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#7 12. 03. 2013 17:29 — Editoval Rumburak (14. 03. 2013 12:49)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#8 13. 03. 2013 11:49

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#9 13. 03. 2013 11:55

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#10 13. 03. 2013 15:24

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#11 13. 03. 2013 15:54 — Editoval vanok (13. 03. 2013 18:35)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#12 13. 03. 2013 16:59 — Editoval Rumburak (13. 03. 2013 17:00)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#13 13. 03. 2013 17:22

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#14 13. 03. 2013 18:03

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

martisek napsal(a):

#15 13. 03. 2013 18:55 — Editoval vanok (13. 03. 2013 19:28)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#16 13. 03. 2013 19:04

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#17 14. 03. 2013 07:21

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#18 14. 03. 2013 10:02

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

#19 14. 03. 2013 10:26 — Editoval Rumburak (14. 03. 2013 11:04)

Re: Postup k výpočtu Eulerova čísla

Zápatí