Matematické Fórum

Libor811 · 08. 01. 2009 14:50

Prosím o pomoc s touto řadou. mám rozhodnout zda řada konverguje či diverguje:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n^2+1}}$

Nevím čím začít, děkuji za pomoc

kaja.marik · 08. 01. 2009 15:04

zacal bych tim, ze vynecham tu jednicku pod odmocninou. Dostanu lehkou radu, o ni rozhodnu jestli konverguje nebo ne.
Puvodni rada se bude (tipuji) chovat skoro stejne. To je prace treba pro limitni podilove kriterium.

Libor811 · 08. 01. 2009 15:20

↑ kaja.marik:
to znamená, že mohu napsat:
$\frac{1}{n\sqrt{n^2+1}}>\frac{1}{n\sqrt{n^2}}=>\frac{1}{n^2}$
a $lim\frac{1}{n^2}=0$ tato posloupnost konverguje a proto celá posloupnost bude také konvergovat?

Marian · 08. 01. 2009 15:28

↑ kaja.marik:↑ Libor811:
Tu jedničku je možné skutečně vynechat. Důležité je ale, že se jedná o řadu s kladnými členy. Bude pak platit
$0<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n^2+1}}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot\sqrt{n^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.$

Stačí ukázat, že konverguje řada vpravo. Ale ta skutečně konverguje. Jen není pravdou, že její konvergenci zjistíme z limitního podílového kriteria. To je jedno z nejslabších kriterií vůbec. Můžeme použít třeba integrální kriterium a nebo lépe srovnávací kriterium, kde použijeme faktu
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}<1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1+1=2<\infty .$

Libor811 · 08. 01. 2009 15:36

↑ Marian:
děkuji za radu, je mi to již jasnější, jen se budu muset víc podívat na ty kritéria

Marian · 08. 01. 2009 15:52

↑ Libor811:

Doporučuji se naučit Raabeovo kriterium, které je velmi silné a není až tak těžké použít. Hodí se také jistě integrální kriterium, které ale nelze použít vždy. Srovnávací kriterium se také velmi hodí, jen je zapotřebí naučit se, s čím srovnávat a jak.

kaja.marik · 08. 01. 2009 18:08

↑ Marian:
Oops, dekuji za opravu, myslel jsem podilove srovnavaci kriterium a srovnavat zadanou radu s radou, kde je vynechana jednicka pod odmocninou.

Omlouvam se,jestli jsem zmatl kolegy :)

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2009 14:50

Konvergence řady

#2 08. 01. 2009 15:04

Re: Konvergence řady

#3 08. 01. 2009 15:20

Re: Konvergence řady

#4 08. 01. 2009 15:28

Re: Konvergence řady

#5 08. 01. 2009 15:36

Re: Konvergence řady

#6 08. 01. 2009 15:52

Re: Konvergence řady

#7 08. 01. 2009 18:08

Re: Konvergence řady

Zápatí