Matematické Fórum

Jackal · 10. 01. 2009 04:09

Zdravím. Nějak si nevím rady s výpočtem délky oranžové úsečky. Může mi někdo říct, zda tam vůbec mám všechny potřebné údaje, prosím?

ttopi · 10. 01. 2009 09:08

Z podobnosti trojúhelníků. Zkus to nějak vykouzlit

Chrpa · 10. 01. 2009 17:58

↑ Jackal:
Musí platit:
$x^2+y^2=\frac 14\nly^2=\frac{1-4x^2}{4}\nly=\frac{\sqrt{1-4x^2}}{2}$
$\frac yx=\frac{3-x}{4-y}\nl4y-y^2=3x-x^2$ dosadíme za y resp. za y^2 a dostaneme rovnici:
$8\sqrt{1-4x^2}+4x^2-1=12x-4x^2\nl-8x^2+12x+1=8\sqrt{1-4x^2}$ rovnici umocníme a úpravami dojdeme krovnici:
$64x^4-192x^3+384x^2+24x-63=0$ řešením rovnice je kořen:
$x\,\approx\,0,41012$
Dopočítáme y, které vyjde:
$y\,\approx\,0,286$
Potom délka předmětné čáry z bude:
$z=\sqrt{(3-x)^2+(4-y)^2}$ po dosazení za x a y vyjde z:
$z\,\approx\,4,52783$

Jackal · 12. 01. 2009 18:15

Děkuji.
Dostal jsem se k té rovnici čtvrtého řádu (snad to říkám dobře), ale nedokázal jsem ji vyřešit. Jak se taková rovnice správně jmenuje, prosím?

Pavel Brožek

↑ Jackal:

Kvartická rovnice nebo algebraická rovnice čtvrtého stupně.

Jackal · 15. 01. 2009 07:57 — Editoval Jackal (15. 01. 2009 08:13)

Původní "příklad" byl jednodušší verzí problému, který řeším. Předmětem dotazu se původně stala verze z prvního příspěvku, protože jsem nedokázal vyřešit ani ji.
Že neumím jen s obyčejnou kalkulačkou vyřešit kvartické rovnice, odkládám na neurčito (vystačím si se specializovanou internetovou kalkulačkou), ale zajímalo by mě, učivo jakého stupně školy to je (jsem studentem VŠ technického směru a doposud jsem se z kvartických rovnic setkal pouze s bikvadratickou variantou). Podotýkám, že ani jedna varianta školou zadaná není a že tento fakt je důvodem, proč jsem dotaz zařadil do kategorie "Ostatní".
Od teď už ale konstruktivně: Mohu poprosit ještě o ukázání některé cesty, jak se dostat k rovnici s jednou neznámou v této složitější verzi (cílem je opět určit délku zvýrazněné úsečky)? Může být i pochopitelně i kvartická (u této varianty bohužel nejsem schopen ani toho).
P. S.: Doufám, že nebude problém s tím, že kvůli další verzi nezakládám nové vlákno.

musixx · 15. 01. 2009 12:33 — Editoval musixx (15. 01. 2009 12:36)

↑ Jackal: Ja bych se tady - stejne jako v prvnim, jedodussim pripade - zameril na vypocet uhlu alfa. Kdyz totiz oznacim vrcholy vepsaneho obdelnika jako A,B,C,D v kladnem matematickem smyslu a zacnu tim vrcholem, co je nejvic vlevo (jen, abych bez obrazku udal znaceni), a kdyz zavedu klasicky souradny system s pocatkem v levem dolnim rohu velkeho obdelnika, tak:

$A=[\cos\alpha,\ 3.5\sin\alpha]$
$B=[3.5\cos\alpha,\ \sin\alpha]$
$C=[20,\ 14-2.5\sin\alpha]$
$D=[20-2.5\cos\alpha,\ 14]$

Pro kazdy uhel $\alpha$ tedy mohu jednoznacne zkonstruovat primky, na kterych lezi strany AB a CD vepsaneho obdelnika.

Jak ted dostat do hry to, ze vpisuju obdelnik? No, prave zkonstruovane primky jsou rovnobezne, tedy zbyva zaridit, aby treba vektory D-A a A-B byly na sebe kolme (skalarni soucin je nula). Tedy zbyva vyresit
$(20-3.5\cos\alpha)(-2.5\cos\alpha)+(14-3.5\sin\alpha)(2.5\sin\alpha)=0$ ,
coz nebude nijak tezke.

Vic casu na reseni ted nemam, ale to uz urcite dotahnes. Jakmile mas $\alpha$ , neni uz samozrejme zadny problem najit kyzenou delku, ze jo?

musixx · 15. 01. 2009 12:41

↑ Jackal: Rekl bych, ze rovnice 4. stupne jsou natolik slozite, ze je neni mozne bezne resit elementarnimi metodami na stredni skole, ale na druhe strane jsou tyto rovnice natolik jednoduche (vlastne jen technicke problemy pri pocitani), ze se jimi nebude poradne zabyvat zadny rozumny vysokoskolsky kurz. Je znama jednoducha substituce, ktera prevede rovnici 4. stupne na rovnici 3. stupne, na kterou zname tzv. Cardanovy vzorce (pouzitelne opet po jiste substituci, ktera eliminuje kvadraticky clen). Cele je to trochu komplikovane prakticky pouzitelne, ale jde to. Jak uz jsem psal vyse - vicemene to obsahuje pouze technicke problemy pri pocitani, nic zajimaveho.

Jackal · 18. 01. 2009 16:45

↑ musixx:
Díky moc. Ani jsem si nedělal naděje, že postup bude tak jednoduše vysvětlitelný.

Ještě k těm kvartickým rovnicím... nelze každou takovou rovnici vyřešit skrze rozklad na součin dvou kvadratických trojčlenů?

Kondr · 18. 01. 2009 17:03

↑ Jackal:Jistě ji lze převést na tvar (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=0, ale vypočítat koeficienty a,b,c,d je v obecném případě stejně těžké, jako hledat kořeny původní rovnice. V mnoha případech se tyto rovnice dají řešit nějakým trikem, třeba odštěpením racionálních kořenů, pozorováním, že je rovnice reciproká, pomocí triku s derivací na odstranění nácobných kořenů nebo třeba převedením na binomickou rovnici. Většinou se ve škole rovnice vyšších řádů řeší právě za účelem procvičení zmíněných triků.

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2009 04:09

Obdélník vepsaný obdélníku

#2 10. 01. 2009 09:08

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#3 10. 01. 2009 17:58

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#4 12. 01. 2009 18:15

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#5 12. 01. 2009 18:26 — Editoval BrozekP (12. 01. 2009 18:26)

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#6 15. 01. 2009 07:57 — Editoval Jackal (15. 01. 2009 08:13)

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#7 15. 01. 2009 12:33 — Editoval musixx (15. 01. 2009 12:36)

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#8 15. 01. 2009 12:41

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#9 18. 01. 2009 16:45

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

#10 18. 01. 2009 17:03

Re: Obdélník vepsaný obdélníku

Zápatí