Matematické Fórum

byk7 · 09. 04. 2013 19:54 — Editoval byk7 (09. 04. 2013 20:37)

Uvažme válec (nestojící na podstavě, v klidu) o délce (rozuměj délku úsečky spojující středy postav) d a objemu 2V s plynem. Píst o hmotnosti m rozděluje válec na dvě shodné části. Píst posuneme vlevo o vzdálenost x a pustíme. Určete periodu kmitání místu.

Přiznám se, že jsem bezradný, ale ani z nich nejsem o moc moudřejší.

Při izotermické ději platí $pV=p_1(V-Sx)=p_2(V+Sx)$ kde S je obsah průřezu pístem. Síla (*) působící na píst je $F=$p_1-p_2$S=\frac{2pVx}{d^2-x^2}$ . Při malých výchylkách (**) pístu $x\ll d$ je $F=\frac{2pVx}{d^2}$ a kmitání bude harmonické. Tuhost soustavy pak je $k=\frac{F}{x}=\frac{2pV}{d^2}$ a $T=\sqrt{\frac{md^2}{2pV}}$ .

Mám k tomu pár dotazů:
(*) Z čeho plyne tento vztah pro sílu?
(**) Proč uvažuje malé výchylky a ne obecně $x\in\left(0,d/2\)$ ? A proč při $x\ll d$ bude kmitání harmonické? Pokud bychom uvažovali obecné $x\in\left(0,d/2\)$ , mohli bychom použít středoškolský vztah pro izotermický děj?

Díky za pomoc.

zdenek1 · 09. 04. 2013 20:24

↑ byk7:
(*) je definiční vztah pro tlak $p=\frac FS$
(**) malé výchylky se uvažují proto, aby se to dalo rozumně spočítat. Běžně se to dělá např. u matematického nebo fyzického kyvadla.
Harmonické kmitání dostaneš vždy, když je síla přímo úměrná výchylce a orientovaná tak, že vrací systém do rovnovážné polohy. Což ve vztahu $F=\frac{2pVx}{d^2}$ platí
Modelový příklad je těleso na pružině. V tomto případě jsou známy vztahy mezi $\omega$ , $k$ a $m$ a tyto vztahy jsou přesné.
V přírodě se ale takové situace vyskytují poměrně zřídka, takže se běžné situace aproximují tímto modelovým případem s tím, že výsledky pak platí jen přibližně a pro malé výchylky (ale pro ty to platí dost dobře na to, aby se výsledky daly použít pro praktické aplikace).

Pokud bys chtěl uvažovat celý interval, musel bys vyřešit rovnici
$m\frac{\mathrm{d^2}x }{\mathrm{d}t^2 }=-\frac{2pVx}{d^2-x^2}$
a to rozhodně není středoškolská matematika. Je otázka, jestli je to pomocí elementárních funkcí vůbec řeštelné. Na toto nejsem odborník.

Pokud bychom uvažovali obecné $x\in\left(0,d/2\)$ , mohli bychom použít středoškolský vztah pro izotermický děj?

Otázka nedává smysl. On byl použit středoškolský vztah pro izotermický děj. To je ten vztah $pV=p_1(V-Sx)=p_2(V+Sx)$ .
Ta aproximace přišla až o krok dál, při úpravě $\frac{2pVx}{d^2-x^2}\approx \frac{2pVx}{d^2}$

LukasM · 09. 04. 2013 20:26

↑ byk7:
(*) - $F=pS$ je přímo definice tlaku, jestli se ptáš na tohle. To druhé rovnítko je po dosazení za tlaky.
Akorát se mi zdá, že při tomhle značení je V polovina objemu celého válce, a ve jmenovateli by mělo být $\frac{d^2}{4}-x^2$ . To ať po mně někdo radši zkontroluje, ale vypadá to tak.

(**) - protože ten vztah pro harmonický oscilátor co se učí na střední platí pouze v případě, že síla je přímo úměrná výchylce (tedy že je konstantní tuhost, a nemění se s výchylkou). Tady straší to x ještě ve jmenovateli, a vztah je použitelný jen v případě, že jde vůči tomu druhému členu zanedbat.

byk7 · 09. 04. 2013 20:51

Upravil jsem značení, celý objem válce.

Jasně, taková blbost, díky za objasnění (definice tlaku).

↑ zdenek1:

Čekal jsem, že to povede na diferenciální rovnici. :-(

Ta moje otázka byla asi špatně položená, myslel jsem to v souvislosti s poznámkou z učebnice, že "Pro skutečné plyny platí Boylův-Mariottův zákon jen přibližně. Při vysokých tlacích a nízkých teplotách se mohou vyskytovat od tohoto zákona již značné odchylky.", a když bude $x\to d/2$ tak ten tlak už bude pořádně velký, ne?

↑ LukasM:

Aha jasně už chápu. Díky :-)
OT: Ona může být i tuhost závislá na výchylce? Já měl za to, že tuhost (pružiny) je konstantí charakteristika (vycházím z definice na druhé slidu.)

LukasM · 09. 04. 2013 21:20

↑ byk7:
Jasně, to je trochu slovíčkaření. Pokud je tuhost konstanta úměrnosti mezi silou a protažením, pak může být závislá na výchylce. Pokud si tuhost definujeme jen pro systémy, kde je síla výchylce přímo úměrná, pak je konstantní. To je spíš o tom čemu ještě budeme říkat tuhost, a čemu už ne. Klidně na tu mou závorku zapomeň, to důležité je před ní (a v příspěvku od zdenka1).

Boyle-Mariottův zákon platí pro ideální plyn. Pokud jsme v podmínkách kdy se plyn jako ideální nechová, pak neplatí. Tady nám to ale k ničemu není, protože absolutní hodnota tlaku ve válci není zadaná. I při velké výchylce nemusí být tlak velký, pokud tam na počátku byl tlak velmi nízký. Vztah pro periodu přestane s výchylkou platit hlavně kvůli té nelineární závislosti síly na výchylce.
Mně by spíš zajímalo, jak hodně oprávněný je předpoklad izotermního děje.

Jinak ta jedna čtvrtina by tam asi opravdu měla být...

byk7 · 09. 04. 2013 21:34

↑ LukasM:
A protože hodnota tlaku není zadaná, neměli bychom počítat s obojím? :-)
Jestliže stavová rovnice pro ideální plyn nevyhoví, potom budu muset použít např. Van der Waalsovu rovnici?
Jak je to s předpokladem izotermního děje, to netuším. :-)

K té jedné čtvrtině v mém předchozím příspěvku ve větě "Upravil jsem značení, celý objem válce." chybí za "válce" spojení "je 2V". V původním příspěvku jsem to už opravil.

OT: Tak trošku mě při psání toho příspěvku napadlo: Rovnice pro izotermický děj je pV=konst.=nRT. Pro adiabatický děj pak Poissonův zákon říká, že pV^ϰ=konst.. Čemu je rovna ta konstanta při adiabatickém ději?

LukasM · 09. 04. 2013 22:46

↑ byk7:
Nevím s čím obojím.

Pokud se plyn za daných podmínek nechová ideálně, van der Waalsova rovnice by ti mohla pomocí, jistě bude přesnější v širším rozsahu (ale také není dokonalá). V této úloze po tobě ale nic takového jistě nechtějí.

Jedna čtvrtina tam dle mně má být právě když je celý objem válce 2V. Co je napsáno v zadání je jedno, já jsem toho dojmu nabyl když jsem četl ty rovnice. Platí totiž $V=\frac{d}{2}S$ , a ta jedna polovina by po dosazení za tlaky měla vyhřeznout v tom jmenovateli, nebo ne?

Čemu je rovna konstanta při adiabatickém ději? Nevím, ale myslím, že ničemu zvláštnímu. Vezme se tlak a objem na začátku (nebo v nějakém známém stavu), objem se umocní na $\kappa$ a součin je ta konstanta. Zdenek1 nebo někdo jiný jistě doplní, jestli je ten součin něčím významný.

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2013 19:54 — Editoval byk7 (09. 04. 2013 20:37)

Plynový oscilátor

#2 09. 04. 2013 20:24

Re: Plynový oscilátor

#3 09. 04. 2013 20:26

Re: Plynový oscilátor

#4 09. 04. 2013 20:51

Re: Plynový oscilátor

#5 09. 04. 2013 21:20

Re: Plynový oscilátor

#6 09. 04. 2013 21:34

Re: Plynový oscilátor

#7 09. 04. 2013 22:46

Re: Plynový oscilátor

Zápatí