Matematické Fórum

↑ jelena:

No hlavně aby mi někdo odpověděl když si to téma přesunula.
Ano, střed je vždy známý, tedy souřadnice 0,0.

Cílem programu je nalézt souřadnice vrcholů a body na stranách. Přitom postupuju od 0° až po 360° a 0° je z principu na ose y "nahoře".

Jde mi opět jen o to rozumět matematickému výpočtu a vzorci. Například jestli mi bude stačit jeden vzorec nebo jich budu potřebovat více pro každou výseč jiný vzorec nebo pro každé pi jiný vzorec... S tím že nejspíš bude třeba funkcí sin a cos počítám.

Možná by ten matematický postup bylo možné vysvětlit na čtverci viz 1. obrázek. Tam totiž platí úplně stejné pravidlo, akorád že je to jednodušší, protože čtverec má jen 4 strany.

Mák:
Přesně to myslím! Jak si to udělal :-) ?

↑ mák:

Díky moc.

PS:
Udivuje mě že někdo slaví svátky.

↑ buff:
Bude to fungovat v radiánech.
V příspěvku #6 od  ↑ mák: je to f = k*u kde k = Pi/180 právě převod stupňů na radiány a také b = (a-360*k)/n-f je v radiánech.
Ještě poznámka k tomu co chceš. Je sice chválihodné, že se zjímáš o takový problém, ale proč vykreslovat n-úhelník pixel po pixelu, když každý "normální" programovací jazyk má nástroje na to, jak udělat úsečku, kružnici, většinou i polygon atd.
Pak pro n-úhelník stačí vypočítat souřadnice vrcholů (ty uložit třeba do nějakého pole nebo do pole bodů) a pak tyto vrcholy spojit úsečkami (nebo z nich vytvořit polygon)
Kyž to totiž budeš dělat tak, jak navrhuješ, tak ty obrázky nebudou vypadat nijak moc pěkně (při dělení po jednom stupni). Strany n-úhelníka nebudou "hladké" křivky, ale pouze izolované body. O tom se můžeš přesvědčit na obrázcích v příspěvku #4 od  ↑ mák:, a to si myslím, že nemá vykreslovaný pouze 1 pxel na pozici x,y, ale ještě minimálně 4 další okolo tohoto bodu.

↑ buff:

Píšeš  Tzn. souřadnice jsou k úplně jinému účelu pro externí program.

Na co ten externí program bude?
Jenom pár poznámek
1. Každý n-úhelník je charakterizován svými vrcholy a ty jsou pak spojeny úsečkami.
    Uniká mi tedy smysl toho, proč dělat mezi vrcholy ještě nějaké body (které leží na spojnici
    těchto vrcholů)
2. Dělení po 10-ti stupních je moc hrubé, např. pro 36-ti úhelník dostaneš pouze vrcholy. Pokud
    360/n nebude celé číslo pak už (při dělení po 10-ti stupních) nedostaneš vrcholy, ale nějakou změť bodů ležících
    na stranách n-úhelníka a pak nepoznáš o jaký n-úhelník se jedná.
3. Pokud se cheš zabývat křivkami, tak se podívej na parametrické vyjádření takové křivky
    Zde máš několik tipů
    Název funkce (křivky)              x(t)                                  y(t)                         tmin    tmax
     Elipsa                                   6*cos(t)                       4*sin(t)                          -Pi      Pi
     Cykloida prostá                    t-sin(t)                      1-cos(t)                       -2*Pi      2*Pi
     Cykloida zkrácená                  t-0.5*sin(t)                      1-0.5*cos(t)               -2*Pi      2*Pi
     Cykloida prodloužená          t-1.5*sin(t)                1-1.5*cos(t)               -2*Pi      2*Pi
     Epicykloida prostá  0.5*(5*cos(t)-2*cos(5*t/2))  0.5*(5*sin(t)-2*sin(5*t/2))  -2*Pi    2*Pi
     Kardioida                        2*cos(t)-cos(2*t)             2*sin(t)-sin(2*t)        -2*Pi    2*Pi
     Nefroida                        3*cos(t)-cos(3*t)       3*sin(t)-sin(3*t)                -2*Pi    2*Pi
     Pascalova závitnice    2*cos(t)-1.5*cos(2*t)       2*sin(t)-1.5*sin(2*t)        -2*Pi    2*Pi
     Hypocykloida prostá 0.5*(3*cos(t)+2*cos(3*t/2)) 0.5*(3*sin(t)-2*sin(3*t/2))-2*Pi    2*Pi
     Steinerova hypocykloida  2*cos(t)+cos(2*t)           2*sin(t)-sin(2*t)                -2*Pi    2*Pi
     Asteroida                      3*cos(t)+cos(3*t)            3*sin(t)-sin(3*t)                -2*Pi    2*Pi
     Rhodonea-3listy              2*cos(t)+2*cos(2*t)         2*sin(t)-2*sin(2*t)                -2*Pi    2*Pi
     Evolventa kružnice      sin(t)-t*cos(t)                 cos(t)+t*sin(t)        -1.43*Pi        1.43*Pi
     Hyperbolická spirála         3*cos(t)/t                 3*sin(t)/t                   0.1*Pi          3.9*Pi
     Logaritmická spirála    exp(0.2*t)*cos(t)        exp(0.2*t)*sin(t)                -Pi    3*Pi
     Dioklova kisoida            t^2/(1+t^2)                t^3/(1+t^2)                       -2*Pi    2*Pi
     Descartův list            3*t/(1+t^3)                3*t^2/(1+t^3)          -10*Pi           10*Pi
     Strofoida                    2*(1-t^2)/(1+t^2)    2*t*(1-t^2)/(1+t^2)              -2*Pi     2*Pi
     Bernoulliova lemniskáta    3*t*(1+t^2)/(1+t^4)    3*t*(1-t^2)/(1+t^4)           -10*Pi       10*Pi
     Motýlek       (exp(cos(t))-2*cos(4*t))*sin(t)    (exp(cos(t))-2*cos(4*t))*cos(t)    0    2*Pi
     Osmička                        3*sin(t)                           3*sin(2*t)/2                  0            2*Pi
     Piriform                   2*(1+sin(t))                 2*(1+sin(t))*cos(t)          0            2*Pi
Zajímavé parametrizace křivek jsou např. Zde

Z těch křivek se mi líbí ty hvězdice v druhé řadě o tom jsem taky uvažoval že by se hodilo ale spíš bez toho kruhu uprostřed. Chtělo by to totiž vytvořit opevnění tohoto typu:

http://www.executedtoday.com/images/Bat … 83_map.jpg

Možná by šlo nějak lehce upravit/doplnit ten Mákův vzorec/program tak aby se mezi vrcholy vešel ještě jeden bod, který by měl menší poloměr a vytvářel tak dvě linie jdoucí směrem jakoby dovnitř kruhu .... Je to podobní asteroidě.

Taky zajímavá se mi jeví Archimédova spirála. Epicykloida by byla zajímavá z hlediska těch čar uvnitř.

↑ buff:

Zdravím,

buff napsal(a):

No hlavně aby mi někdo odpověděl když si to téma přesunula.

No jak vidíš - efekt to mělo - kolegům děkuji ↑ mák:, ↑ Honzc: a věřím, že se ještě zapojí. Ta ↑ mapa: je úžasná, pokud se tak vůbec dá mluvit o bitevní mapě (aktuálně čtu tuto knihu). 

K problému - používáš kód kolegy ↑ mák: pro n=4 a místo jedné čáry a jednoho vrcholu vykresluje zdvojenou čáru a zdvojený vrchol (věž?) nebo jiný kód? Pokud kreslíš jen zeď, bez věží, také zdvojuje? Děkuji.

↑ buff:

no je potíž - kód kolegy ↑ mák: jsem se nepřinutila rozluštit (pátek :-)). Když jsem včera přesouvala Tvé téma, tak moje představa o kreslení byla taková:

přímky stran čtyřúhelníku (orientace dle obrázku kolegy mák(a) jsou:

pro 0 až 90,
pro 90 až 180
pro 180 až 270
pro 270 až 360
----------------------------
pokud volíš úhel pro umístění bodu na přímce strany, potom hledáš průsečík přímky strany a přímky . 5ešením soustavy vznikne dvojice souřadnic x, y Tvého hledaného bodu.

Pokud potřebuješ najít souřadnice bodů na přímce strany (bez volby úhlu), potom jen rozdělíš interval od -r do r "na kroky" - to budou souřadnice x a k tomuto kroku dopočteš y.

---------------------------------------------------
Tento postup lze zobecnit na libovolný pravidelný mnohoúhelník (i na nepravidelný, pokud budeš zadávat polohy vrcholů - tedy od stavby věží. Princip je takový, že nejdřív určuji rovnice přímek budoucích stran a na těchto přímkách vytyčuji body. Ale zas - kód kolegy funguje, až na potíž zdvojování, tak snad by mělo větší efekt počkat na reakci kolegy.

Pro Hvězdici (tedy také z přímek) bude něco obdobného, pro spirálu - parametrizace (viz příspěvek kolegy Honzce)

Moje představa o počítačových (a nejen) hrách je silně mlhavá - jednou jsem na požádání milého syna prošla nějaký level, který se mu nedařilo překonat a to je opravdu všechno.

Zdravím,
pokusím se popsat svůj kód srozumitelněji a současně jej napíšu znova.

Nejprve napíšu princip.
Mám střed - z něj vycházím. Označím jej . Jeho souřadnice jsou a . V programu jej neuvidíš, protože jeho hodnoty jsou nulové.
Budu zjišťovat bod, který protíná N-úhelník, přesněji jednu jeho stranu. Ten bod zatím neznám, ale zvolím si bod na kružnici , který bude tato přímka protínat. Označím jej . Jeho souřadnice budou a . Ty si umím vypočítat. Máme tedy jednu přímku, která začíná v bodě , který známe a končí v bodě , který si vypočítáme.
Druhá přímka, kterou tato protíná je vlastně stranou N-úhelníka. Jak zjistím tyto vrcholy?
Víme že N-úhelník nám rozděluje celý obvod na částí, každá z nich je stejně velká a zabírá úhel .
Vrcholy budou sedět přesně na tomto násobku.
Teď pro snadnost si představíme hodiny. Začínají na 12 hodině - což bude úhel 0°. A pokud budeme pokračovat ve směru hodinových ručiček tak se nám bude zvětšovat úhel až k 360°.
Takže pokud nám přímka bude protínat stranu, tak jeden vrchol strany, který bude svírat menší úhel, pojmenujeme "první" a vrchol, který bude svírat větší úhel pojmenujeme "druhý" . Máme tedy druhou přímku .

Výpočet si rozdělím do několika částí.
První část - (zabývá se úhly nejprve ve stupních a pak v radiánech):
Vypočítám velikost segmentu:

Velikost úhlu od prvního vrcholu (trojúhelník ):

Pomocnou hodnotu pro převod z úhlových jednotek na radiány (počítač s nimi počítá):

Velikost úhlu vrcholům , , od středu (vztahují se k pomyslné 12 hodině):




Další část - budu počítat a souřadnice vrcholů , , :







A poslední část - najdu průsečík přímek, nejprve pro souřadnici a pak následně pro :



A na závěr kompletní program v wxMaximě:

fg(u,n,r):=block([Nn,Nu,Ru,Pu,Du,Rx,Ry,Px,Py,Dx,Dy],
   
    Nn: 360 / n,
    Nu: mod(u, Nn),

    k: %pi/180,
    Ru: k*(u),
    Pu: k*(u - Nu),
    Du: k*(u - Nu + Nn),

    Rx: r*sin(Ru),
    Ry: r*cos(Ru),
    Px: r*sin(Pu),
    Py: r*cos(Pu),
    Dx: r*sin(Du),
    Dy: r*cos(Du),    

    [((Dy*Px-Dx*Py)*Rx)/((Px-Dx)*Ry+(Dy-Py)*Rx),((Dy*Px-Dx*Py)*Ry)/((Px-Dx)*Ry+(Dy-Py)*Rx)]
)$

compile(fg);

L: makelist(float(fg(i,4,11)),i,0,360,.1)$
wxplot2d([discrete,L],[style,[points,0.5,2,1]],[x,-12,12],[y,-12,12],
    [gnuplot_preamble,"set grid; set xtics 2; set ytics 2; set size ratio 1;"]
), wxplot_size:[600,520];

A výsledný obrázek (tentokrát výpočet probíhal po 0.1°.

Skrytý text:

↑ mák:
Dík za popis, ale už na začátku se ztrácím. Těžko se mi to představuje. Definici trojúhleníku PSR nechápu. Můžete to přirovnat k mému obrázku? Čemu co odpovídá? Na obrázku mám označený jeden vrchol A a bod B, jež je definován souřadnicemi k vrcholu či vzdáleností mezi BS a AS jež je tedy rozdílem hodnot B-S a A-S.

Takže jediné co jste změnil bylo to krokování?

To je divné. Velikost krokování by neměla mít vliv na přesnost křivky. Pokud máte např. krokování 5, tak by měly být všechny body propojitelné jednou línií, bez toho aniž by zasahovaly do sousedních/přilehlých řad bodů.

Já ale nemohu snížit přesnost krokování na 0.1 ta mapa vyžaduje krokování 0.5 nebo 1.0. Dá se přesnost zvýšit nějak jinak? Třeba přidáním koeficientu natvrdo na nějakého místa ve vzorci? Aniž by to ovlivnilo krokování.

Znova k mákovu grafu. Jeho poslední obrázek ukazuje jasně, že čtverec prochází dvěma "řadama" čtverců najednou (vzhledem k ose x je to diagonálně proto uvozovky). Tak asi to není zas tak špatně jak se mi zprvu zdálo. Ovšem nutno dodat, že místy se nelogicky objevuje právě ta třetí kachle či čtverec.

Takže k mákovu výpočtu mám dotaz, jestli by se dala nějak omezit ta hodnota, aby vycházela pouze jedna "řada", například buď ta vnější nebo ta vnitřní. Hodnota, která je blíže k nule nebo dál k nule. Snad by se to dalo nějak vztáhnout k proměnné která určuje velikost kroku (po kolik stupních krokovat). Pokud jsou kachle moc blízko... definice termínu blizko je závisla na velikosti konstanty "fullRound" která je buď 1 nebo 0.5. Takže by to asi chtělo nejdříve spočítat průměr pro několik prvních kroků, tu hodnotu uložit a pak rozhodnout, která ze dvou po sobě jdoucích hodnot je blíže nebo dále a jestli je dále než je průměr, pak by tato hodnota nebyla vypočítána.

Ovšem problém je ještě v definici slova průměr, protože nemůžeme použít poloměr, ale nějaký koeficient se kterým se ve vzorci pracuje. Takže by se musela vypočítat průměrná hodnota nějakého koeficientu. Nebo snad střední hodnota minima a maxima toho koeficientu. Snad by to tak šlo?

Anebo mě napadá druhá možnost. Opět použít to konstantu fullRound a určit hranice čtverců. Když se opět podívám na máchův čtverec je vidět jasná pravidelnost, takže by se dalo matematicky definovat která kachle je lichá a která je sudá a já bych si tedy řekl jestli chci hodnoty v sudém nebo lichém pořadí. To zní jednodušeji ne?

Jestli to ale bude platit stejně i pro spirálovitý průběh línií, protože měním průměr od min po max hodnotu.

jelena napsal(a):

s Tebou je potíž taková - nemáš, prosím, v okolí např. studenta 1. ročníku slušné VŠ (technika např.)?

Nemám. Díky za obrázky. Skvělé.

jelena napsal(a):

Ovšem podstatné - jak se dostáváš na pozici "previous" a "next" - jsou to body na kružnici opsané Tvému mnohoúhelníku a vymezuji "sekci"?

Jasně, previous a next leží na kružnici r a vymezují sekci, kdežto actual je hledaný bod, který leží na "naší" přímce.

Ovšem problém je ještě v definici slova průměr, protože nemůžeme použít poloměr, ale nějaký koeficient se kterým se ve vzorci pracuje. Takže by se musela vypočítat průměrná hodnota nějakého koeficientu. Nebo snad střední hodnota minima a maxima toho koeficientu. Snad by to tak šlo?

Proč nejde používat poloměr kružnice opsané mnohoúhelníku? Co tomu braní? Děkuji.

Protože hledaný bod neleží na kružnici, kromě případů známých vrcholů. Jestli tedy vzorec pracuje s koeficiem odchylky (minimální a maximální hodnoty o které se liší odchylka polohy od kružnice) tak by to bylo snad snadnější.