Matematické Fórum

Bundesliga · 28. 01. 2009 20:06

Jak se počítá tento příklad, prosím. Vypočítej délky úhlopříček kosočtverce, je-li obsah kosočtverce 156 cm2 a délka strany 13 cm.

Chrpa · 28. 01. 2009 20:17 — Editoval Chrpa (28. 01. 2009 20:59)

↑ Bundesliga:
Úhlopříčky kosočtverce jsou na sebe kolmé a navzájem se půlí tzn, že platí:
$\frac{u_1^2}{4}+\frac{u_2^2}{4}=a^2$

Dále platí: $S=\frac{u_1\cdot u_2}{2}$ kde S je obsah kosočtverce.
Z toho už bys to měl dát dohromady.
Pokud ne tak se ozvi.

Bundesliga · 28. 01. 2009 21:03

↑ Chrpa:a to mám teď vyřešit soustavu se 2 neznámými? nějak mi to nevychází

Chrpa · 28. 01. 2009 21:30 — Editoval Chrpa (28. 01. 2009 21:32)

↑ Bundesliga:
Vy jste se řešení soustavy dvou rovnic
o dvou neznámých ještě neučili?

Mělo by ti vyjít:
$u_1=6\sqrt{13}\nlu_2=4\sqrt{13}$ nebo naopak

Bundesliga · 28. 01. 2009 22:19

↑ Chrpa:
učili,ale nevychází mi to :(. dostávám tam pořád čtvrtou mocninu a záporný čísla

Chrpa · 28. 01. 2009 22:20

↑ Bundesliga:
Tak tedy jinak
Z obrázku:

Pro obsah S platí:
$S=a\cdot v\nlv=\frac{S}{a}=\frac{156}{13}=12$
Dále platí: (Pythagorova věta)
$x^2+v^2=a^2\nlx^2+12^2=13^2\nlx^2=169-144\nlx=5$
Použijeme dalšího Pythagora.
$(a+x)^2+v^2=u_1^2\nl(13+5)^2+12^2=u_1^2\nl18^2+12^2=u_1^2\nlu_1^2=324+144\nlu_1^2=468\nlu_1=6\cdot\sqrt{13}$
Teď dopočítáme délku druhé úhlopříčky.
Platí:
$S=\frac{u_1\cdot u_2}{2}\nlu_2=\frac{2S}{u_1}=\frac{2\cdot 156}{6\sqrt{13}$
$u_2=\frac{312}{6\sqrt{13}}=\frac{52}{\sqrt{13}}=4\sqrt{13}$

Chrpa · 28. 01. 2009 22:22 — Editoval Chrpa (28. 01. 2009 22:26)

↑ Bundesliga:
Už jsem to vyřešil jinak. Viz příspěvek výše

PS pokud by tě zajímalo řešení přes obsah a úhlopříčky
tak mě to na papíře vychází. Je pravda že tam vyjde u^4,
ale vhodnou substitucí to jde převést na kvadratickou rovnici.

Chrpa · 28. 01. 2009 22:56 — Editoval Chrpa (28. 01. 2009 23:15)

Způsob 2)
$\frac{u_1^2}{4}+\frac{u_2^2}{4}=a^2\nlu_1^2+u_2^2=676$
$S=\frac{u_1\cdot u_2}{2}\nlu_1\cdot u_2=312$
Máme dvě rovnice:
$u_1\cdot u_2=312\nlu_1^2+u_2^2=676$
$u_1=\frac{312}{u_2}\nl\left(\frac{312}{u_2}\right)^2+u_2^2=676\nlu_2^4-676u_2^2+312^2=0$ substituce u_2^2=x
$x^2-676x+312^2=0\nlx_{1,2}=\frac{676\pm\sqrt{676^2-4\cdot 312^2}}{2}\nlx_{1,2}=\frac{676\pm260}{2}\nlx_1=468\nlx_2=208$ vrátíme se k substituci a dostaneme:
$u_2^2=468\nlu_2=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$
$u_2^2=208\nlu_2=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$

Výsledky jsou stejné.