Matematické Fórum

vanok · 28. 10. 2013 17:10 — Editoval vanok (28. 10. 2013 17:10)

Dalsie cvicenie z teorie grup.
Urcite strukturu $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^*$ inversibilnych prvkov grupy ( podla dekompozicie na prvociselne faktory cisla n).

vanok · 31. 10. 2013 18:50

Mala poznamka:
Na co moze posluzit dane cvicenie ↑ vanok:

Je jednoduche dokazat ze $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^*$ a $Aut (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})$ su isomorfne.
Naviac vieme, ze $\varphi (n)= |(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^*|$ , kde $\varphi$ je Euler-ova funkcia.
Co nam da ze $Aut (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})$ je komutativna grupa radu $\varphi (n)$

vanok · 03. 11. 2013 14:25 — Editoval vanok (03. 11. 2013 14:26)

Pridam este tuto vetu, ktora moze byt pouzita v dokaze:
Pre $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ , kde $p_1;...;p_k$ su rozne prvocisla a $a_1;...;a_k \in \mathbb{N^*}$
1) Existuje isomorfismus okruhov medzi $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ a $\prod_{i=1}^{k} \mathbb{Z} / p_i^{a_i}\mathbb{Z}$

2) Existuje isomorfismus grup medzi $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^*$ a $\prod_{i=1}^{k} (\mathbb{Z} / p_i^{a_i}\mathbb{Z})^*$

3) mame
$\varphi (n) = \prod_{i=1}^{k}\varphi (p_i^{a_i})=n. \prod_{i=1}^{k}(1-\frac 1{p_i})$

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2013 17:10 — Editoval vanok (28. 10. 2013 17:10)

Structura inversibilnych prvkov grupy Z/nZ

#2 31. 10. 2013 18:50

Re: Structura inversibilnych prvkov grupy Z/nZ

#3 03. 11. 2013 14:25 — Editoval vanok (03. 11. 2013 14:26)

Re: Structura inversibilnych prvkov grupy Z/nZ

Zápatí