Matematické Fórum

Mythic · 30. 10. 2013 15:01 — Editoval Mythic (30. 10. 2013 15:04)

Ahoj,

chtěl bych poprosit, jestli by mi někdo mohl trošku dovysvětlit partikulární řešení rekurentních rovnic.

Mám zjistit jaký je vzorec pro:

$\sum\limits_{i=1}^{n+1} i^2$

tedy: x(n+1) - x(n) = (n+1)^2

Došel jsem k řešení homogení části x(n+1) - x(n) = 0 ---> kde my vyšla báze { 1^n}

Teď bych měl řešit partikulární řešení a koukám do sešitu, že tu vždycky máme nějaký vzorec, ze kterého sme si pak vyjádřili a,b,... ale vůbec nevím jak ten řádek z kterého to budu vyjadřovat mám sestavit :(.

Rumburak

Ahoj.

Na podobný dotaz jsem už minimálně jednou odpovídal, ale nedaří se mi to najít. Podívejme se na to obecněji.

Máme-li číselné posloupnosti $(a_n)$ , $(A_n)$ definované na množině $\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3, ... \}$ (dále jen "poslouonosti")
a spojené vztahem

(1) $a_n = \Delta A_n , n \in \mathbb{N}$

(kde $\Delta A_n$ je zkratka za $A_{n+1}-A_{n}$ ) , potom posl. $(a_n)$ nazýváme diferencí posl. $(A_n)$ , zatímco posl. $(A_n)$
se nazývá sumace posl. $(a_n)$ .

Je-li dána posl. $(a_n)$ , pak její sumace není určena jednoznačně, avšak libovolná posl. $(A_n)$ , která je sumací posl. $(a_n)$ ,
se dá vyjádřit ve tvaru

(2) $A_n = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + C , n \in \mathbb{N}$ ,

kde $C$ je tzv. sumační konstanta charakterictická pro posl. $(A_n)$ . Tím je odůvodněn termín "sumace". Snadno nahlédneme,
že z (2) zpětně plyne (1) pro libovolnou posl. $(a_n)$ a konstantu $C$ .
("V říši" posloupností jsou pojmy diference a sumace analogií pojmů derivace a primitivní funkce "z říše" hladkých funkcí
definovaných na intervalu).

Snadno se dají dokázat vzorce

(3) $\Delta(A_n + B_n) = \Delta A_n + \Delta B_n$ , $\Delta(\lambda A_n) = \lambda\Delta A_n$

platné pro libovolné posl. $(A_n)$ , $(B_n)$ a libovolné číslo $\lambda$ .

Od obecných úvah přejděme k posl. $(n^p)$ pro pevně zvolenou konstantu $p \in \mathbb{N}$ . Z binomické věty odvodíme

$\Delta n^p = (n+1)^p - n^p = \sum_{k=1}^p {p \choose k}n^{p-k}$ ,

zde pravá strana je zřejmě polynom (v proměnné $n$ ) stupně $p-1$ .

Odtud a z (3) obdržíme tvrzení:

Je-li $F(n)$ polynom stupně $p\in \mathbb{N}$ , potom $\Delta F(n)$ je polynom stupně $p-1$ .

Z dosavadních úvah plyne závěr:

Je-li dán polynom $f(n)$ stupně $p-1$ , potom funkci $F(n)$ splňující vztah

$F(n) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) + C , n \in \mathbb{N}$

je rozumné hledat ve tvaru polynomu stupně $p$ .

Funkci $F(n) = \sum\limits_{i=1}^{n-1} i^2$ tedy hledáme ve tvaru polynomu třetího stupně, takže

(4) $F(n) = an^3 + bn^2 + cn + d$ ,

kde konstanty $a, b, c, d$ zjistíme tak, že hodnoty $F(1) , ... , F(4)$ určíme přímo numerickým výpočtem
a dle (4) tak dostaneme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých $a, b, c, d$ .

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2013 15:01 — Editoval Mythic (30. 10. 2013 15:04)

rekurentni rovnice

#2 31. 10. 2013 11:42 — Editoval Rumburak (08. 04. 2014 11:24)

Re: rekurentni rovnice

Zápatí