Matematické Fórum

gabrisvk · 30. 10. 2013 23:05

v zavislosti na realnem c urcte vsetky x realne pre ktore plati

$|\text{cotg}x| - 2 < c$

vysiel mi interval $arccotg (-c-2) \text{ po } arccotg(c+2)$

co zaase po nakresleni nedaava zmysel :(

Rumburak · 31. 10. 2013 16:12

Fce arccotg je klasající , neboť taková je i cotg na (0 , pi) .

gabrisvk · 10. 11. 2013 11:36

2. priklad - V zavislosti na parametru c z R urcite vsetky realne x, pre ktore plati
$|cotg(x)| -2\in (-\infty ,c)$
riesenie:
$|cotg(x)| -2 <c$
$|cotgx| < c+2$
$x<arccotg(c+2)$ tu si uz nie som isty, ale nakreslil som si graf a podla toho som postupoval dalej

vysledok:
$c\in (-\infty ,-2>; x\in \emptyset$
$c\in (2,\infty); x\in (arccotg(c+2)+k\pi ; \pi -arccotg(c+2)+k\pi)$

Rumburak · 11. 11. 2013 09:25

↑ gabrisvk:

Nerovnice $|\cotan x| < c+2$ je ekvivelení s $-(c+2) < \cotan x < c+2$ .

Místo $c\in (-\infty ,-2>; x\in \emptyset$ je lepčí napsat slovy "pro $c\in (-\infty ,-2>$ řešení neexistuje" a pod.,
psát " $x\in \emptyset$ " je poněkud umělé.
Jinak to máš správně.

gabrisvk · 11. 11. 2013 11:04

↑ Rumburak:

dakujem. ak som pochopil tak spravne to ma byt takto:
$|cotgx| < c+2$
$-c-2 <cotgx < c+2$
$arccotg(-c-2)<x<arccotg(c+2)$
potom vychadza riesenie $c\in (2,\infty); x\in (arccotg(-c-2)+k\pi ; arccotg(c+2)+k\pi)$
co ale nie je spravne, ked si dosadim c=-1 je to interval $(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4})$
pricom spravne podla grafu je to $(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4})$

preco? :-)
musim posunut to $arccotg(-c-2)$ o $\pi$ dopredu?
a dostanem: $c\in (2,\infty); x\in (arccotg(c+2)+k\pi;\pi +arccotg(-c-2)+k\pi )$
ale to tiez neplati ked c je kladne cislo?

spravne riesenie je teda: "pre $c\in (-\infty ,-2>$ nema riesenie" a " $c\in (2,\infty); x\in (arccotg(c+2)+k\pi ; \pi -arccotg(c+2)+k\pi)$ "?

Rumburak

↑ gabrisvk:

Ne_ne. Bohužel jsem si pořádně nezkontoloval , jak se zobrazí ty nerovnosti ve větě

Nerovnice $|\cotan x| < c+2$ je ekvivelení s $-(c+2) < \cotan x < c+2$ .

a vzniklá chyba měla zavádějéící účinek, za což se omlouvám.

Mělo tam být

Nerovnice $|\mathrm{cotg} x| < c+2$ je ekvivelení s $-(c+2) < \mathrm{cotg} x < c+2$ .

Funnce arccotg je kesajíci, takže po její aplikaci na poslední složenou nerovnost znaménka nerovností změní směr.

gabrisvk · 11. 11. 2013 15:29

↑ Rumburak:
okej ale aj tak to nesedi :(
$-(c+2) < \mathrm{cotg} x < c+2$ upravim
$arccotg(-(c+2))>x>arccotg(c+2)$ otocil som znamienka, z toho vyplyva
$c\in (-\infty ,-2>$ potom $x\in (arccotg(c+2);arccotg(-c-2))$
ak dosadim c=-1, vyjde interval $(\frac{\pi }{4};-\frac{\pi }{4})$ co je nespravne

Rumburak · 11. 11. 2013 15:53

↑ gabrisvk:

Dosazením $c = -1$ dostaneme nerovnici

$-1 < \mathrm{cotg} x < 1$ , která má řešení $x \in $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} $$ .

Funkci arccotg vnímám jako fumkci inversní k funkci $f$ , kda $f$ je zúžení fce cotg na interval $(0, \pi)$ .
Píši to proto, že na některých zahraničních webech lze nalézt odličnou defunici funke arccotg.

Ještě dodatečně opravím chybu (asi překlep) v ↑ gabrisvk:: nerovnice má řešení v případě $c\in (-2,\infty)$ .

gabrisvk

↑ Rumburak:
ano to bol preklep.

no nejak mi stale unika pointa, nerozumiem tomu.

dolezite je pre mna aby som mal spravny vysledok a to je teda:

$c\in (-\infty ,-2>$ - nema riesenie
$c\in (-2,\infty); x\in (arccotg(c+2)+k\pi ; \pi -arccotg(c+2)+k\pi)$

Rumburak

↑ gabrisvk:

Tak to vezměme obecněji . Funkce $\cot$ (TExem podporované označení fce kotangens) je na $(0 , \pi)$ klesající a zobrazuje tento interval
spojitě na $(-\infty, +\infty)$ .

Jsou-li $a, b \in (-\infty, +\infty) , a < b$ , existují jednoznačně určená čísla $\alpha, \beta \in (0 , \pi)$ tak, že $a = \cot \alpha, b = \cot \beta$ .
Z definice funkce $\mathrm{arccot}$ plyne $\alpha = \mathrm{arccot} a , \beta = \mathrm{arccot} b$ , v důsledku klesající monotonie funke $\cot$ na $(0 , \pi)$ je $\alpha > \beta$
a řešením nerovnice $a < \cot x < b$ v $(0 , \pi)$ je každé $x$ splňující $\alpha > x > \beta$ , neboli $x \in (\beta, \alpha)$ , všechna její reálná řešení
jsou tedy určena podmínkou $x \in (\beta + k\pi, \alpha + k\pi)$ s libovolným celým číslekm $k$ .

Jestliže navíc $b > 0 , a = -b$ , potom z předpokladů $\alpha, \beta \in (0 , \pi)$ plyne $0 < \beta < \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$ a

$a = -b = -\cot \beta = \cot (-\beta) = \cot (\pi -\beta)$ ,

což porovnáním s $a = \cot \alpha$ dává $\alpha = \pi -\beta$ .

Speciálně pro $b = c + 2 > 0 , a = -(c+2)$ tak máme $\beta =\mathrm{arccot} b , \alpha = \pi - \mathrm{arccot} b$ , celkem

$x \in (\mathrm{arccot} (c+2) + k\pi, \pi - \mathrm{arccot} (c+2) + k\pi)$ .

Měl jsem za to, že v příspěvku tuším že #3 ses k tomuto řešení už dopracoval (?)