Matematické Fórum

peligre · 01. 12. 2007 14:22

Můžete mi někdo říct, kde dělám chybu?

$\lim_{x\rightarrow\infty}=(\frac{2n+3}{2n+1})^n$

Po upravě $\lim_{x\rightarrow\infty}=(\frac{2n+1}{2n+1}+\frac{2}{2n+1})^n$

$\lim_{x\rightarrow\infty}=(1+\frac{2}{2n+1})^n=e^2.1$

ale má to vyjít e

stejně tak přiklad

$\lim_{x\rightarrow\infty}=(\frac{2n+3}{2n-1})^{3n+2}$

dostanu se ke tvaru
$\lim_{x\rightarrow\infty}=(1+\frac{4}{2n-1})^{3n+2}$
ale d8l nev9m, co s tím

Atol · 01. 12. 2007 19:44

U vypoctu takoveto limity se pouziva limita

$\lim_{{\infty}}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$

$a_n \rightarrow \infty$

takze potom by tvoje limita mela vypadat
$\lim_{{\infty}}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{2n+1}{2}}\right)^{\frac{2n+1}{2}}\right]^{\frac{2}{2n+1}n}=e$

peligre · 02. 12. 2007 16:49

tomu nerozumím :-(

jelena · 02. 12. 2007 17:17

peligre napsal(a):
tomu nerozumím :-(

Na pohled to vypada hororove, ale je to takovy standardni postup - zacina tak, jak postupujes - pokud se v zavorce podarit osamostatnit 1, tak jeste zkontrolujeme zbyvajici zlomek, zda splnuje podminku, ze cely zlomek se blizi 0 pri x se blizi k nekonecnu - je to tak, splneno.
Ted si dodame odvahy a "pretvorime" ten zlomek tak, ze ho cely posleme do jmenovatele - nemuzeme ho ale poslat rovnou, bez upravy, ale v jmenovateli se musi objevit puvodni zlomek "pretoceny". To je polopaticky vyklad - pokud si to chces overit, tak zkus cely ten vyraz po prevraceni vypocitat jako deleni 1 zlomkem a uvidis, ze puvodni zlomek se vrati bez zadne ujmy.
Proto prilis nevahame a proste tento figle pouzijeme. Stejne tak pouzijeme "pridani" mocniny nad zavorku - musi "kopirovat" jmenovatel zlomku v zavorce. Toto "pridani" mocniny, uz by zmenilo cely vysledek, proto za mocninu pridame jeste dalsi mocninu, ktera je "prevracena" k puvodni mocnine. Pokud obe pridane mocniny mezi sebou vynasobis, tak dostanes 1. Coz znaci, ze jsme vlastne nic nebezpecneho neprovedli.
Ted ale muzeme vyuzit limitu, kterou zde uvadi kolega Atol a ktere na Vychode se dokonce rika "druha pozoruhodna limita"

$\lim_{{\infty}}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$

an je v tomto pripade cely jmenovatel, tak jak byl vytvoren, proto cela zavorka i s mocninou se nahradi e. Zustala nam ale dalsi mocnina za zavorko 2*n/(n2+1) Jelikoz n se blizi k +oo, tak tady provedeme upravu, co jsme spolu cvicili - deleni nejvetsi mocninou a dostateme 2/2, coz je 1, pro cely vysledek je pouze e.

Ted to povidani shrnu:

1. overime si v zavorce, ze citatel zlomku je vetsi nez jmenovatel (to je opravdu dulezite) a osamostatnime 1,
2. Zbyvajici zlomek upravime prevracenim a umistenim do jmenovatele, citatel 1.
3. pridame mocninu - zlomek a za zavorku mocninu - prevraceny zlomek
4. zavorku s mocninou nahradime e,
5. ve zbyvajici mocnine provedeme upravy, vcetne pouziti zadani, ze n se blizi oo.

Pro poradek, je to polopaticky postup, ktery ma samozrejme strohou podstatu, ale pro pouziti staci takto polopaticky :-)

Za pripomenuti postupu dekuji, Ado :-)

peligre · 02. 12. 2007 18:33

Aha,tak teď už je mi to jasný! Děkuju

Ale mám ještě jeden problém - jak vyřešit tuhle rovnici. Je to určitě něco primitivního, ale koukám na to jak husa do láhve a nic mě nenapadá....

x^3 -3x+2=0

jelena · 02. 12. 2007 19:03 — Editoval jelena (02. 12. 2007 19:09)

x^3 -3x+2=0

pokud to nejde jinak, pokus se jeden koren uhodnout - dost casto to byva 1 nebo -1. Tady mame 1 - zkus to cislo dosadit za x, dostanes 0. To je spise napoveda, ze rozlozit pujde a co se ma objevit v rozkladu.

ted udelam takovy krok (misto -3x napisi -x - 2x a budu vytykat po dvojicich:

x^3 -x - 2x +2 = x(x^2-1) -2(x-1) = x(x-1)(x+1) -2(x-1) = (x-1)(x(x+1)-2) =

(x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = 0

vysledek: 1, -2

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2007 14:22

limita

#2 01. 12. 2007 19:44

Re: limita

#3 02. 12. 2007 16:49

Re: limita

#4 02. 12. 2007 17:17

Re: limita

peligre napsal(a):

#5 02. 12. 2007 18:33

Re: limita

#6 02. 12. 2007 19:03 — Editoval jelena (02. 12. 2007 19:09)

Re: limita

Zápatí