Matematické Fórum

blue · 05. 02. 2009 15:49

Jakto?

x = 0,9...
10x = 9,9...
10x - x = 9,9... - 0,9...
9x = 9
x = 1

Závěr: 1 = 0,9...

lukaszh · 05. 02. 2009 15:56

↑ blue:
Niekde som videl, že
$0,\overline{9}=1$
Táto rovnosť platí. Podobne možno odvodiť:
$1,7\overline{9}=1,8$

Lishaak · 05. 02. 2009 15:58

Nedá se říct nic jiného než: je to tak :-). Náš systém na zapisování reálných čísel pomocí desetinných rozvojů má jednu nevýhodu, a to tu, že existuje vícero zápisů pro dvě stejná čísla. Takže například

1,5 = 1,49999....

apod.

blue · 05. 02. 2009 16:00

Aha, zajímavé, děkuji za vysvětlení :).

Marian · 05. 02. 2009 16:10

Zkusí někdo z vás dokázat třeba identitu 1.5=1.4999999...?

lukaszh

↑ Marian:
$1,4\overline{9}=\frac{7}{5}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{9}{10^{n}}=\frac{7}{5}+9\cdot\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{10^{n}}=\frac{7}{5}+9\cdot\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{5}+\frac{1}{10}=\frac{14+1}{10}=\frac{3}{2}$

Chrpa · 05. 02. 2009 16:21

↑ lukaszh:
$0,\overline{9}=1$
Pokud to pojmeme jako geometrickou řadu s kvocientem q = 1/10 pak:
$0,\overline{9}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$

Marian · 05. 02. 2009 16:23

↑ lukaszh:
Nechtěl jsem provokovat, samozřejmě jsem si byl jistý, že to víš. Možná to někomu pomůže.
Zdravím ...

musixx · 05. 02. 2009 16:28

↑ Marian: Kdyz trosku smicham formalni jazyky a realnou aritmetiku (a pri dobre vuli bude jasne, jak to myslim), mohu pro libovolna slova X a Y nad abecedou 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 psat

$x=X,Y\overline9$
$10^{|Y|}\cdot x=XY,\overline9=XY+0,\overline9=XY+1$ podle jiz dokazaneho, tedy
$x=\frac{XY+1}{10^{|Y|}}$ .

Tedy $x=1,4\overline9$ dava $10x=14,\overline9=14+0,\overline9=14+1=15$ , tedy $x=1,5$ .

Nebo tez mohu postupovat primo: $x=1,4\overline9$ , tedy $10x=14,\overline9$ , tedy rozdil dava $9x=13,5$ , tedy $x=\frac{13,5}9=1,5$ .