Matematické Fórum

isofer · 24. 11. 2013 14:36

Zdravím, chtěl bych se zeptat, jak se řeší tento příklad.
Je dána kvadratická rovnice 4x^2 – 11x + 5 = 0. Napište všechny kv. rce, které mají kořeny a) opačné
Nevíte někdo?

kryštof · 24. 11. 2013 15:11

Jeden způsob je vypočítat kořeny $x_{1}$ , $x_{2}$ téhle rovnice a pak rovnice $(x+x_{1})(x+x_{2})=0$ má opačné kořeny.

janca361

↑ isofer:
Mělo by to být asi bez počítání kořenů dané rovnice,co?

Řeš s využitím Vietových vzorců.
Zadaná rovnice má kořeny $x_{1}$ a $x_{2}$ .
Nová hledaná rovnice $y_{1}$ a $y_{2}$ .
Jaký bude vztah mezi kořeny $x_{1}$ a $y_{1}$ a $x_{2}$ a $y_{2}$ ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Upravíš původní rovnici $4x^2 - 11x + 5 = 0$ na základní tvar.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Platí Vietovy vztahy:
$x_1 \cdot x_2 =q$ a $x_1 + x_2 =-p$
Dokážeš je aplikovat na zadanou rovnici?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Zapis Vietovy vztahy pro novou hledanou rovnici. A řeš tuto soustavu rovnic s využitím vztahů pro zadanou rovnici. Vypočítáš koeficiety $p$ a $q$ . Danou rovnici násobíš k-krát s podmínkou $k \in \mathbb{R}-\{0\}$

EDIT: Oprava chyb.

Peta8 · 30. 11. 2013 12:39

Možná něco zanedbávám, ale nestačí v podstatě uvážit, že podle Vietových vzorců a zadání, že kořeny mají být opačné, se změní pouze znaménko lineárního členu?

$-y_1-y_2 = \frac{11}{4} \\ y_1+y_2 = -\frac{11}{4}$

janca361 · 30. 11. 2013 12:55

↑ Peta8:
$x_1 \cdot x_2 =\frac{5}{4}$
$x_1 \cdot x_2 =\frac{11}{4}$
$y_1=-x_1$
$y_2=-x_2$

Soustava rovnice (Ano, vodorovnou čáru stále neumím i když mi ji někdo na pískovišti vysvětloval již několikrát..)
$y_1+y_2 = -p \\ y_1 \cdot y_2 = q$
$(-x_1)+(-x_2) = -p \\ (-x_1) \cdot (-x_2) = q$
$-x_1-x_2= -p \\ (-1) \cdot x_1 \cdot (-1) \cdot x_2 = q$
$-1(x_1+x_2)= -p \\ x_1 \cdot x_2 = q$
$-1 \cdot \frac{11}{4}= -p \Rightarrow p=\frac{11}{4}\\ \frac{5}{4} = q$

Hledaná rovnice:
$k \cdot (y^{2}+\frac{11}{4}y+\frac{5}{4}) =0$ pro $k \in \mathbb{R}-\{0\}$

Takže ano, taková úvaha lze. Nicméně nevím, jak by se na to koukal nějaký učitel, který asi očekává celý postup.