Matematické Fórum

Permo · 27. 12. 2013 17:19

Dobrý večer, teď jsem narazila na slovní úlohu se kterou si nevím vůbec rady. Nemůžete mi prosím někdo poradit co s tím?

Výška pravidelného čtyřbokého jehlanu je 10 cm a zvětšuje se rychlostí 0,2 cm/min. Hrana
podstavy je 9 cm a zmenšuje se rychlostí 0,3 cm/min. Jak rychle se mění objem jehlanu?
Zvětšuje se, nebo zmenšuje?
(Nápověda: objem jehlanu je V = 1/3 a2 v, a je hrana podstavy, v výška jehlanu.)

marnes · 27. 12. 2013 17:51

↑ Permo:

výška se zvětšuje o 2% za minutu, tedy 1,02 v/min
rozměr hrany postavy se zmenšuje o 3/90 %= 1/30 % tedy na 29/30 hrany/min

V´=1/3. 1,02 v. 29/30 a . 29/30 a = 0,953 V

Objem se zmenšuje o cca 4,7% /min

Permo · 27. 12. 2013 18:01

Děkuji, tohle mě nenapadlo. Nevím proč jsem si umanula, že na to musím jít přes derivaci.

marnes · 27. 12. 2013 18:06

↑ Permo:
Přes derivace to možná taky půjde, ale já to neumím

zdenek1 · 27. 12. 2013 18:57

↑ marnes:
Pěkné, ale špatně
$h=10+0,2t$
$a=9-0,3t$
$V=\frac13a^2h=\frac13(9-0,3t)^2(10+0,2t)=270-12,6t-0,06t^2+0,006t^3$
$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}=0,018t^2-0,12t-12,6=\frac3{500}(t-30)(3t+70)$
takže v čase $t=30\ \text{min}$ bude rychlost nulová a dosazením se snadno přesvědčíš, že nulový bude i objem.

marnes · 27. 12. 2013 19:04

↑ zdenek1:
Taky díky. Já neuvažoval stálou změnu. Takže nakonec přece jen derivace.

kaja.marik

$\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial a}\frac{da}{dt}+\frac{\partial V}{\partial v}\frac{dv}{dt}= \frac 23 av \frac{da}{dt} + \frac 13 a^2 \frac{dv}{dt}$

Ze zadani: $a=9, v=10, \frac{dv}{dt}=0.2, \frac{da}{dt}=-0.3$

Po dosazeni: zmensuje se rychlosti 12.6 cm/min

Code:

Maxima 5.24.0 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (a.k.a. GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) (a:9, da:-0.3, v:10, dv:0.2);
(%o1)                                 0.2
(%i2) 2/3*a*v*da+1/3*a^2*dv;
(%o2)                               - 12.6
(%i3) quit();

Permo · 27. 12. 2013 19:52

↑ kaja.marik:
můžu se prosím ještě zeptat jak jsi přišel, ptám se proto, abych se na to ještě koukla, protože mám pocit že to nám nikdo nevysvětlil

$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial V}{\partial a }\cdot \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d}t }+\frac{\partial V}{\partial v }\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }$

pak už ta derivace je mi jasná, jinak děkuji

zdenek1 · 27. 12. 2013 20:27

↑ Permo:
To je obyčejná derivace složené funkce.
ALe pozor, to co spočítal ↑ kaja.marik: je jen hodnota pro čas $t=0$ .

kaja.marik · 27. 12. 2013 20:41

Zalezi v jakem kontextu tu ulohu resite. Ja jsem pocital rychlost zmeny funkce dvou promennych, protoze objem jehlanu je funkce dvou promennych.

Predesla dve reseni implicitne predpokladaji, ze rychlost zmen je konstantni, coz ale nemusi byt pravda. Je zadana rychlost zmeny TED, v case 0. Tuto informaci jsem pouzil pro vypocet. Nic vic zadano neni. Pokud jeste doplnime podminku, ze ta rychlost zmensovani nebo zvetsovani rozmeru bude stejna a proces bude trvat dokud jehlan nezanikne, tak jsou spravna (nebo aspon priblizne spravna) vsechna tri reseni.

Kolega Zdenek1 Vam navic spocital, jak to bude vypadat v libovolnem okamziku do doby, nez jehlan zanikne.

Kolega marnes dal odpoved, ve ktere proces prvni minuty vlastne zprumeroval, coz vzhledem k tomu ze relativni zmena za minutu neni prilis velka take neni nijak daleko od ostatnich dvou reseni.

Permo · 27. 12. 2013 20:55

tak teď je mi to jasné , děkuji Vám všem za vyčerpávající odpověď

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2013 17:19

slovní úloha

#2 27. 12. 2013 17:51

Re: slovní úloha

#3 27. 12. 2013 18:01

Re: slovní úloha

#4 27. 12. 2013 18:06

Re: slovní úloha

#5 27. 12. 2013 18:57

Re: slovní úloha

#6 27. 12. 2013 19:04

Re: slovní úloha

#7 27. 12. 2013 19:20 — Editoval kaja.marik (27. 12. 2013 19:23)

Re: slovní úloha

Code:

#8 27. 12. 2013 19:52

Re: slovní úloha

#9 27. 12. 2013 20:27

Re: slovní úloha

#10 27. 12. 2013 20:41

Re: slovní úloha

#11 27. 12. 2013 20:55

Re: slovní úloha

Zápatí