Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj,
nedochází mi proč platí tohle:
$\mathbf{A}\cong \mathbf{A}/\theta\Rightarrow \theta=\{(a,a);\:a\in A\}$ .
Neboli, pokud je algebra izomorfní svému faktoru, tak kongruence podle níž jsme faktorizovali je tou nejmenší kongruencí.
Prosím o pomoc.

Andrejka3

↑ Andrejka3:
Možná se mi to povedlo, ale zdá se mi to komplikované. (Ještě k tomu neznám teorii množin).
Označme $\iota$ nejmenší kongruenci na $\mathbf{A}$ , největší jako $\omega$ .
$\mathbf{Eq}\:(\mathbf{A}/\theta) \cong [\theta,\omega]\leq \mathbf{Eq}\:\mathbf{A}$ .
Kdyby $\theta\neq \iota$ , pak je $[\theta,\omega]\subsetneq \mathrm{Eq}\:\mathbf{A}$ a tedy by vyšlo, že nějaká algebra je izomorfní se svou podalgebrou, která není přímo ta algebra. Teda nevím, jestli jsem došla ke sporu. Asi ne.
Edit: nebo asi jo, protože inzerce je taková hezká funkce, takže snad když inzerce není surjekce, pak musí ten obor být menší než koobor? Takže by neměla existovat bijekce...

Andrejka3

Je to blbost. Řetězec $\{1,2\}<\{3\}<\{4\}<\ldots$ je izomorfni retezci (svazu) $(\mathbb{N},\leq)$ , přitom jsem faktorizovala podle kongruence, ktera neni nejmensi.

Brano · 07. 01. 2014 09:26

A uz mas teda v tych algebrach vyriesene, ze to neplati?

Andrejka3 · 07. 01. 2014 12:33

↑ Brano:
Ano mám, díky za optání. Zůstává mi tam jeden problém, zkusím asi za pár hodin založit nové téma, jestli se mi to nepovede.

OiBobik

↑ Andrejka3:

Mimochodem, existuje i docela dost přirozených příkladů. Třeba Prüferova $p$ -grupa (kde $p$ je prvočíslo), realizovaná třeba jako

$\left(\{z \in \mathbb{C}\; | \; \exists n \in \mathbb{N}: z^{p^n}=1\}, \cdot \right)$

Kdykoli si vezmu její konečnou (což je mimochodem zde totéž, jako konečně generovanou) podgrupu, pak faktor podle ní je isomorfní celé té grupě.

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2014 23:11 — Editoval Andrejka3 (06. 01. 2014 23:12)

algebra izomorfni svemu faktoru

#2 07. 01. 2014 00:03 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 00:05)

Re: algebra izomorfni svemu faktoru

#3 07. 01. 2014 06:27 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 06:27)

Re: algebra izomorfni svemu faktoru

#4 07. 01. 2014 09:26

Re: algebra izomorfni svemu faktoru

#5 07. 01. 2014 12:33

Re: algebra izomorfni svemu faktoru

#6 07. 01. 2014 21:23 — Editoval OiBobik (07. 01. 2014 21:24)

Re: algebra izomorfni svemu faktoru

Zápatí