Matematické Fórum

Creatives

Ahoj,
někde jsem zaslechl, že platí něco takového $\sum_{n=1}^{\infty }n -> (-\frac{1}{12})$
Neví někdo jak je to myšleno? Nebo kde si můžu něco o tom počíst, nejlépe česky. . .

Freedy · 19. 01. 2014 01:14

Když budeš do nekonečna sčítat kladné čísla, kde každé další je větší než předchozí, tak bude součet vždy nekonečno a určitě ne -1/12

Stýv · 19. 01. 2014 01:29

↑ Creatives: viz http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_ze … fic_values

Cenobita

je to popsáno zde:

http://www.gizmodo.com.au/2014/01/the-s … mehow-112/

Creatives · 19. 01. 2014 11:05

↑ Cenobita:↑ Stýv:
Díky oběma. Každopádně to video je hustý :D

Freedy · 22. 01. 2014 23:59

$S_1=1-1+1-1+1-1+...$
$1-S_1=1-(1-1+1-1+1-1+1-...)$
$1-S_1=\underbrace{1-1+1-1+1-1+...}_{S_1}$
$1=2S_1$
$S_1=\frac{1}{2}$

$\Large S_1=\frac{1}{2}$

$S_2=1-2+3-4+5-6+...$
$2S_2= 1-2+3-4+5-6+.... \\ \qquad \quad + \space 1 -2+3-4+5-6+... \\ =\quad \quad\underbrace{1-1+1-1+1-1...}_{S_1}$
$2S_2=S_1$
$2S_2=\frac{1}{2}$
$\large S_2=\frac{1}{4}$

$S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+...$
$S-S_2=1+2+3+4+5+6+7+...\\ \qquad \quad -[1-2+3-4+5-6+7-...]\\ \qquad ={\qquad \space \underbrace{4 \quad + \quad 8 \quad + \quad 12 ...}}_{4(1+2+3+4+5...)}$
$4(1+2+3+4+...)=4S$
$S-S_2=4S$
$S-\frac{1}{4}=3S$
$-\frac{1}{4}=3S$
$S=-\frac{1}{12}$

___________________________
$\sum_{n=1}^{\infty }n=-\frac{1}{12}$

Creatives · 23. 01. 2014 00:03

↑ Freedy:
Koukal jsem, ale hlavně výsledek pro S1 který tvrdí že to je 1/2 je kravina. . . Ta řada nemá součet...

a taky to posunutí u S2 mi příjde špatně. . .

Hanis · 23. 01. 2014 00:10 — Editoval Hanis (23. 01. 2014 00:11)

Procházel jsem si ty důkazy a ony jsou "špatně".

V důkazu součtu Grandiho řady použiješ asociativní zákon, ale ten platí jenom pro konvergentní řady. Tzn. že musíš a priori vědět, že Grandiho řada konverguje. Takže bych to shrnul: pokud Grandiho řada konverguje, pak je součet 1/2.
Od Grandiho čady se dá přejí k sumě přirozených čísel. Ale tam se zase přerovnávají řady, na čež potřeuješ absolutní konvergenci. Prostě to, co dělají, nemůžou dělat, pak dochází k vnitřním inkonsistenci matematiky :-)

kaja.marik

Ja jsem to video cele neprohlizel, ale pouzivaji tam i komutativni zakon pro nekonvergentni rady, coz je taky logicky spatne.

Honzc · 23. 01. 2014 07:09 — Editoval Honzc (23. 01. 2014 09:02)

↑ Freedy:
Jenom taková oprava v tvém výpočtu.
Rovnice $S-\frac{1}{4}=3S$ má být správně $S-\frac{1}{4}=4S$

Ještě taková poznámka:
Pro altenující řadu $S_{1}=1-1+1-1+1-...+...$
je možné "tvým" přístupem dojít lehce ke třem různým výsledkům.
1. $S_{1}=1-1+1-1+1-...+...=(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0$
2. $S_{1}=1-1+1-1+1-...+...=1+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+...=1$
3. Ten tvůj $S_{1}=1-1+1-1+1-...+...=\frac{1}{2}$
Ale samozřejmě ani jeden není správný.

Freedy · 23. 01. 2014 10:47

Vážně se tu budeme dohadovat o tom, že součet nekonvergentní řady je -1/12 ?
A krom toho, je mi jasný že součet nemůže být 1/2, jen jde o to, že když bys tu řadu zastavil na náhodným místě a někdo by se tě zeptal, jaký je součet, tak bys neřek ani 1 ani 0 ale 1/2 protože by to byl nejpřesnější odhad jaký bys v tu chvíli mohl říct.

Astro · 26. 01. 2014 17:05 — Editoval Astro (26. 01. 2014 17:08)

Takto to dopadá, když se někdo moc dívá na Numberphile…

http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk
http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

http://terrytao.wordpress.com/2010/04/1 … tinuation/

Makakpo · 23. 03. 2014 13:42

Podla mne je blby pristup od matematikov v tom, ze sa chcu preslavit tym, ze spochybnuju overene pravdy, ktore tu su uz 300 rokov. Matematika predsa nie je ako fyzika, ze niekto pride s teoriou velkeho tresku - 20 rokov sa drzi a potom niekto pride s este prepracovanejsou teoriou. Fakt, ze sucet vsetkych prirodzenych cisel je nekonecno je stara pravda ktora je tu uz od nejakeho 17. storocia a existuje viac roznych dokazov ako to dokazat. Ved matematika je najpresnejsia veda, pokial sa na nieco pride a poda sa dokaz, ktory nema ziadnu chybu tak sa nemame o com bavit.

jarrro · 23. 03. 2014 15:13

ale v istom zmysle je to rozumné lebo keď máš funkciu (vo všeobecnosti komplexnej premennej) definovanú predpisom
$f{$z$}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^z}}$
pre tie z pre ktoré daný rad konverguje (ako komplexný rad) a analyticky to rozšíriš na celú komplexnú rovinu tak dostaneš zeta funkciu ktorá v bode z=-1 má hodnotu -1/12. viac na Stývovom wiki odkaze

vanok · 23. 03. 2014 22:03 — Editoval vanok (23. 03. 2014 22:16)

Poznamka:
Bolo by presnejsie hovorit o matematikach a nie o matematike.
A to preto, ze niektore matematicke teorie mozu napr. pracovat z inymi logickymi pravidlamy ako bezna matematika. Pozrite si na priklad ( wikipedii) co je konstruktivna matematika. A prikladov je vela...
Co sa tyka radov, niektori foristi si myslia, ze iba konvergentne rady su uzitocne. Pokiall ide o matematicku analyzu je to skutocne tak.
No vsak v rozlicnych kombinatorickych problemoch su uzitocne aj formalne rady, priklady iste poznate.

Co sa tyka divergentnych radov, vysledky co su predstavovane ako specialne, nie su dobre dokazane, lebo pouzivaju vysledky, co neplatia pre rady o ktorych sa hovori.
Ale, niektore z takych vysledkov sa mozu dokazat za urcitych podmienok, ktore upresnene vysvetlia o co ide.
Napr. Iste vsetci poznaju Cesàro-vu summaciu, a tiez vysledok: ak prevedieme konvergentnu postupnost na Cesàro-vu, tak aj prevedana postupnost konverguje k tej istej limite ako povodna.
Teraz si precitajte tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Cesàr … n#Examples
prvy example.
Co mozte konstatovat?
Ze Cesàro-va transformacia previedla divergentnu radu (1,-1,1,-1,1,...) na konvengentnu.
Mohli by sme povedat, ze takato rada je 1-Cesàro konvergentna, C1- konvergentna. Podobne mozme mat ze nejaky rada konverguje po dvoch takych to transfomaciach.... Rady c2- konvergentne. Atd.... A su aj ine transformacie...
Ak niekto ma chut, moze zacat, z
Hardy, G. H. (1992). Divergent Series. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2649-2.

Makakpo · 23. 03. 2014 23:28

Mne to pride ako nasilne obchadzanie faktov. Preco niekto silou mocou chce, aby rad ktory diverguje konvergoval?? Na co je to dobre? Nikto na svete ma nepresvedci ze sucet vsetkych prirodzenych cisel je rovny nejakemu konkretnemu cislu lebo je to uplna blbost.

vanok · 23. 03. 2014 23:47

↑ Makakpo:;
nerozumiem co pises, mozes to vysvetlit.
Ak robis narazku na nieco co som pisal upresni.
Na plodnu diskuziu, je dobre vediet o com sa hovori.
Zacni z citanim serioznej literatury na tu temu.

Tvoj osobny nazor ti nikto neberie ale zasa netreba miesat vsetko. Aj vysledky tykajuce sa aj divergentnych radov su uzitocne. Ak sa o to nezaujimas, to je tvoja vec, ale historia klasickej matematiky ukazuje, ze vdaka problemu divergentnych rad sa aj vykristalizovala teoria konvergentnych rad.

Inac ak si myslis, ze niekto ti hovori bludy, bolo by dobre aby si dokazal v com su jeho dokazy spatne... ( pred tym ako sa dokazala Velka Fermatova veta, boli stovky spatnych dokazov, a ini matematici, ukazali autorom, ze sa mylili v ich dokaze)

jarrro · 24. 03. 2014 11:07

matematika nie je o pravde absolútnej, ale relatívnej teda, že všetko platí za predpokladu, že platí niečo iné resp. výsledok závisí na konkrétnej matematickej teórii a jej definíciách a axiómach napríklad tvrdenie, že každý polynóm má koreň je bez predpokladu, že sa jedná o komplexnú analýzu resp komplexnú algebru nepravdivé podobne súčet radu keď sa pracuje s definíciou súčtu radu ako s bežnou limitou jeho čiastočných súčtov tak sa obecne dosiahnu iné výsledky ako keď sa pracuje s definíciou, že ide o cesarovu limitu jeho čiastočných súčtov prípadne keď sa pracuje s nejakou úplne inou (otázka je či by to bolo rozumné či už z matematického, logického alebo aj reálneho hľadiska)definíciou súčtu. aj zmena metriky ktorá sa niekedy dokonca aj reálne hodí môže zmeniť konvergentný rad na divergentný a podobne naopak

Bati · 24. 03. 2014 11:18

↑ Makakpo:
Zdravím,
jak už naznačil ↑ vanok: a jarrro, záleží na tom, z jakých předpokladů jsme vyšli, když jsme dostali výše zmíněný výsledek. Když mi někdo řekne, že $\sum^\infty 1=0$ , tak se nebudu přece ptát: "Jak je to možné?", ale zeptám se: "Co jsi předpokládal?" a případně "Je rozumné to předpokládat?". To, co je rozumné je vždycky věc názoru nebo konkrétních požadavků, bezespornou matematiku si můžeme budovat jak chceme a v tom je ta krása. Nejsme v ní nijak vázáni realitou, jako např. ve fyzice, a proto nám nijak nevadí protiintuitivní výsledky.

Makakpo napsal(a):
Preco niekto silou mocou chce, aby rad ktory diverguje konvergoval?? Na co je to dobre? Nikto na svete ma nepresvedci ze sucet vsetkych prirodzenych cisel je rovny nejakemu konkretnemu cislu lebo je to uplna blbost.

Úplně konkrétní příklad, proč takovou věc chceme, lze nalézt třeba v teorii konvergence Fourierových řad, viz. Fejérova věta.

Makakpo

Chcel som iba povedat ze si myslim ze je zbytocne snazit sa preslavit tym, ze podkopavame zakladne pravdy, ktore boli davno dokazane. Preco niekto v 21. storoci tvrdi ze je to rovne -1/12, ked matematici 3 storocia uznavaju ze to nema sucet. Nechapem, mne to pride ako taky tipicky pseudopokus dokazat nieco len kvoli slave. Alebo niekto sa zjavi a povie ze delenie nulou je mozne. Nech sa na mna nikto nehneva ale deleniu nulou mozne nie je, na wikipedii som cital ze sa to sice da zaviest ale vediet to ku roznym sporom. A takisto tento vysledok mi pride smiesny pokus. Keby sa ty matematici radsej zaoberali niecim poriadnym, je vela oblasti matematiky kde sa da nieco uzitocne spravit.

jarrro · 24. 03. 2014 14:17 — Editoval jarrro (24. 03. 2014 14:19)

aj to záleží na tom či si v komplexnom svete alebo reálnom v komplexnom delením nenuly nulou získaš komplexné nekonečno , ale delenie nuly nulou ani tu nie je definované jednoducho preto, že akákoľvek definovaná hodnota by bola v rozpore so štandardnými vetami o limitách
v reálnom prípade delenie nulou nie je definované z toho dôvodu že je sporné jeho použitím sa dá "dokázať", že každé dve čísla sa rovnajú
treba rozlišovať medzi neštandardným a sporným

vanok · 24. 03. 2014 14:52 — Editoval vanok (29. 03. 2014 13:35)

Posledna poznamka:( dufam)
Ak hovoris ↑ Makakpo: o matematikoch, a folkloristickych dokazoch. Tak len na upresnenie ten pan na YouTube, ktoreho dokaz si nam tu ukazal, je fyzik a nie matematik....
Potom napisat, keby sa matematici zaoberali... To zneje ako vsetci matematici! A ked si aj myslis, ze je ich vela, co takto bavia? Tak sa velmi mylis. Vies aspon v com moze spocivat, praca matematika? ( pozor, nie ucitela)

Ale, poznamenavam, ze aj mimo tejto neplodnej polemiky, co sa tu odohrava, ukazat dokazy, ktore nesplnaju hypotezy nejakej teoremy, je uzitocne. Lebo take nespravne pouzitie tych teorem vedie ku katastrofam.
Edit
Inac pisés ako keby si vsetko vedel z matematiky a vies vyslovit aj kritiky na prace slavnych matematikov Neviem aku mas uroven v matematike ale podla,skromnosti ci ti chyba, sa musis este toho vela naucit.

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2014 23:48 — Editoval Creatives (18. 01. 2014 23:50)

1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#2 19. 01. 2014 01:14

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#3 19. 01. 2014 01:29

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#4 19. 01. 2014 01:31 — Editoval Cenobita (19. 01. 2014 01:42)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#5 19. 01. 2014 11:05

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#6 22. 01. 2014 23:59

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#7 23. 01. 2014 00:03

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#8 23. 01. 2014 00:10 — Editoval Hanis (23. 01. 2014 00:11)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#9 23. 01. 2014 00:44 — Editoval kaja.marik (23. 01. 2014 00:45)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#10 23. 01. 2014 07:09 — Editoval Honzc (23. 01. 2014 09:02)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#11 23. 01. 2014 10:47

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#12 26. 01. 2014 17:05 — Editoval Astro (26. 01. 2014 17:08)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#13 23. 03. 2014 13:42

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#14 23. 03. 2014 15:13

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#15 23. 03. 2014 22:03 — Editoval vanok (23. 03. 2014 22:16)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#16 23. 03. 2014 23:28

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#17 23. 03. 2014 23:47

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#18 24. 03. 2014 11:07

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#19 24. 03. 2014 11:18

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

Makakpo napsal(a):

#20 24. 03. 2014 13:09 — Editoval Makakpo (24. 03. 2014 13:11)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#21 24. 03. 2014 14:17 — Editoval jarrro (24. 03. 2014 14:19)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

#22 24. 03. 2014 14:52 — Editoval vanok (29. 03. 2014 13:35)

Re: 1+2+3+4+5+6+ . . . = ?l?

Zápatí