Matematické Fórum

suroviak3

Chcel by som vás poprosiť o pomoc s týmto zadaním:
Uveďte príklad funkcie f(x) pre ktorú platí f(3)=4, prvá derivácia v bode 3 = 3,prvá derivácia v bode 4 = 4 a druhá derivácia v bode 3 neexistuje.

Potreboval by som nápoveď ako postupovať. Podľa toho aká je prvá derivácia viem že to bude nejaká krivka. Keďže druhá derivácia v bode 3 neexistuje tak to znamená že 3 nebude v definičnom obore druhej derivácie(t.j. napr. v menovateli bude x-3). A potom som sa snažil túto funkciu odhadnúť.

Rumburak

↑ suroviak3:

Keďže druhá derivácia v bode 3 neexistuje tak to znamená že 3 nebude v definičnom obore druhej derivácie(t.j. napr. v menovateli bude x-3).

Potom ale by v tomto bodě nebyla definována ani sama ta funkce. Je potřeba jít na to jinak.

1) V bodě 4 je pouze požadována hodnota (=4) první derivace, což lze zajsit tak, že na nějakém (třeba i jakkoliv malém )
okolí $U$ bodu 4 bude $f(x) = 4x + g(x)$ , kde $g$ je funkce, pro kterou $g'(4) = 0$ (takovou je např. libovolná
konstantní funkce).

2) Situace v bodě bodě 3 je složitější. Pro zjednodušení ji nejprve přesuňme do bodu 0, tj. najděme funkci $h$ , která
má v bodě 0 první derivaci (prozatím jakékoliv konečné hodnoty), ale nikoliv derivaci druhou. Bude to například funkce
$h(x) := x|x| + ax + b$ , jejíž derivací v celém $\mathbb{R}$ je $h'(x) = 2|x| + a$ , o čemž se snadno přesvědčíme
podrobným rozborem. Pro funkci $H(x) := h(x-3)$ pak bude platit $H(3) = h(0) = b$ , $H'(3) = h'(0) = a$ .
Tyto vlastnosti funkce $H$ zůstanou zachovány, i když její definiční obor zúžíme na libovolně malé okolí bodu 3.

Závěr si už zkus udělat sám.

suroviak3 · 24. 01. 2014 11:41

↑ Rumburak:
Nerozumiem vášmu postupu, neviem kam tým smerujete ,pretože ak to bude v 1) f(x)=4x+g(x) tak síce prvá derivácia bode 4 bude 4 za predpokladu, že g(x) je konštantná funkcia ale derivácia tejto funkcie v bode 3 nebude nikdy 3.

Pokiaľ som správne porozumel vášmu postupu tak vy ste hľadali dve funkcie: 1) funkciu ktorá má v bode 4 deriváciu 4 a v 2) funkciu, ktorá má v bode 0 prvú deriváciu a druhá derivácia neexistuje. Ale predsa keď zderivujeme $2*|x|+3$ tak dostaneme: $\frac{2x}{|x|}$ a to v bode 3 deriváciu má čiže druhá derivácia funkcie h(x) v bode 3 existuje.

Okrem toho nerozumiem, čo je to veľké H(x) a ako ste ho dostali.

Rumburak

↑ suroviak3:

Pokud jde o funkci $H$ , tak nechápu, co není jasné :-). Napíši to ještě jinak. Vycházíme z jednodušší funkce
$h(t) := t|t| + at + b$ , z níž substitucí $t = x-3$ dostaneme funkci $H(x) = h(x-3)$ .

Předpis té výsledné funkce $f$ se bude větvit, třeba takto :

$f(x) := H(x)$ pro $x < \frac{7}{2}$ (kam patří bod 3) ,
$f(x) := 4x + C$ (kde $C$ je volitelný parametr) pro $x \ge \frac{7}{2}$ (kam patří bod 4) .

Platí pak: $f(3) = H(3) = h(0) = b$ , $f'(3) = H'(3) = h'(0) = a$ , $f''(3)$ neexistuje,
protože neexistuje $h''(0)$ , dále $f'(4) = 4$ . Volbou $a = 3, b = 4$ zajistíme splnění dalších podmínek úlohy,
vhodnou volbou parametru $C$ můžeme zajstit - chceme-li - spojitost funkce $f$ ve "větvícím" bode 7/2 .

Přišel jsem na to tak, že jsem hledal, až jsem našel, což mi nedalo mnoho práce, protože mám v tom, dejme tomu,
určitý trening.

suroviak3 · 24. 01. 2014 13:34

↑ Rumburak:
Ďakujem.

ikim23 · 09. 01. 2015 12:55

↑ Rumburak:

Dobry den, ja riesim tiez tento priklad a rad by som si nieco ujasnil, lebo tomu nerozumiem:

$h(t) := t|t| + at + b$ , z níž substitucí $t = x-3$ dostaneme funkci $H(x) = h(x-3)$ .

takze ak spravne rozumiem potom: $H(x) = (x-3)|x-3| + a(x-3) + b$

Platí pak: ... $f'(3) = H'(3) = h'(0) = a$ ...

ak mam spravne napisany predpis funkcie $H(x)$ potom $H'(x) = \frac{2(x-3)^2}{|x-3|} + a$ v bode 3 je nedefinovana $H'(3) = \frac{2(0)^2}{|0|} + a$
Za odpoved vopred dakujem.

Pavel · 09. 01. 2015 13:15 — Editoval Pavel (09. 01. 2015 13:17)

↑ suroviak3:

Je-li neexistence derivace chápána jako neexistence vlastní derivace, pak lze také použít odmocnin. Pro hledanou funkci f by mohlo např. platit

$f'(x)=\sqrt[3]{x-3}+3$

Platí $f'(3)=3$ , $f'(4)=4$ a $f''(3)$ neexistuje. Nebude pak obtížné odtud odvodit předpis funkce f tak, aby byla splněna i první podmínka $f(3)=4$ .

Rumburak

↑ ikim23:

Vzorec $H'(x) = \frac{2(x-3)^2}{|x-3|} + a$ se dá použít jen tehdy, když $x\ne 3$ (protože dělení nulou není definováno).

Pro derivaci funkce $H$ v bodě $x = 3$ (resp. funkce $h$ v bodě $t = 0$ ) se nedá se použít ani vzorec pro derivaci
součinu funkcí, protože nejsou splněny její předpoklady požadující, aby měl derivaci každý z činitelů. Ale dá se zde
postupovat přímo z definice derivace. Je-li $h(t) := t|t| + at + b$ , potom

$h'(0) = \lim_{u \to 0} \frac {h(0 + u) - h(0)}{u} = \lim_{u \to 0} \frac {(u|u| + au + b) - b}{u}=\lim_{u \to 0}\frac{u|u| + au}{u} = \lim_{u \to 0}(|u| + a) = a$ .

Derivace funkce $h$ v bodě 0 tedy existuje, pouze ji nelze počítat pomocí vět, jejichž předpoklady ta derivovaná funkce
v daném bodě nesplňuje.

Předpokládám, že o to Ti šlo.