Matematické Fórum

gaspa · 04. 05. 2014 17:36

Zdravim, chcel by som sa opytat na jednu vec na ktoru som narazil behom riesenia Integrálov, po prestudovani teorie k danej latke som aj tak nedosiel nato ako sa dokoncuje priklad takehoto typu, uvediem konkretny priklad pomocou Cauchyho vety o rezíduách vypocítajte integrály po jednoduchých, po castiach hladkých, uzavretých orientovaných krivkách majme priklad
$\int_{c}^{}z^{2}e^{1/z}dz$ kde $c:|z| = 1$ vyslo mi ze z = 0 je Podstatne singularny bod takze musim riesit loranov rad..
$z^{2}e^{1/z} = \sum_{0}^{inf} z^{2}\frac{z^{-n}}{n!} = \sum_{0}^{inf} \frac{z^{2-n}}{n!}$ z tohtno som prisiel nato ze n urcim z mocniny
$2-n=-1 \Rightarrow n=3$ k tomu by som sa chcel spytat preco sa to dava rovne -1? preto ze loranov rad ma zaporne mocniny?
$C_{-1} = \frac{1}{3!} = res_{z=0} f(z)$ a tomuto koncu vobec nechapem za n dosadim 3 ale co sa mi stane so Ztkom, v teorii som sa k tomuto nedopatral a co vlastne znamena to C-1 člen? Za odpovede vopred dakujem.

Rumburak

↑ gaspa:

Ahoj. Pokusím se vysvětlit situaci .

Nechť $\mathbb{C}$ je komplexní rovina, $G = \mathbb{C}-\{0\}$ . Uvažujme funkce $f_n(z) := z^n$ s celočíselnými $n$ .

Všechny jsou holomorfní v oblasti $G$ a je-li navíc $n \ge 0$ , pak i v $\mathbb{C}$ .

I. Pro $n \ne -1$ každá z funkcí $f_n$ má na celé oblasti $G$ (a pro $n \ge 0$ i na celém $\mathbb{C}$ ) primitivní funkci

$F_n(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1} + C$ ,

kde $C$ je nějaká (libovolná, ale pevně zvolená) integrační konstana, takže je-li $k$ křivka v $G$ s počátečním
bodem $a$ a koncovým bodem $b$ , potom

$\int_k f_n = F_n(b) - F_n(a)$ ,

což v případě uzavřené křivky (když $b = a$ ) dá hodnotu $0$ .

II. Případ $n = -1$ je ale jiný tím, že k funkci $f_{-1}$ neexistuje primititivní funkce na celém $G$ . Taková PF by
musela mít tvar $L(z) + C$ , kde $C$ by byla integrační konstanta a $L$ některá jednoznačná větev logaritmu
v oblasti $G$ , avšak v této oblasti (ani v žádná jiné, která by oddělovala nulu od nekonečna) j.v. logaritmu neexistuje.

Je-li například $k$ kružnice se středem v bodě $0$ taková, že svůj střed obíhá jen jednou, a to v kladném směru,
potom

$\int_k f_{-1} = \int_k z^{-1} \d z =2 \pi \mathrm{i}$ ,

jak není těžké dokázat výpočtem integrálu.

Odtud plyne residuová věta. Máme-li funkci

$g(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n z^n$ ,

kde řada vpravo konverguje v mezikruží $M$ určené podmínkou $r < |z| < R$ , kde $0 \le r < R$ , a je-li $\varrho \in (r, R)$ ,
potom kladně orientovaná kružnice $k$ o středu $0$ a poloměru $\varrho$ obíhající svůj střed právě jednou leží celá v $M$
a odděluje nulu od nekonečna, takže

$\int_k g(z) \d z = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n \int_k z^n \d z = C_{-1} \int_k z^{-1} \d z = C_{-1} \cdot 2\pi \mathrm{i}$ ,

protože pro celé $n \ne -1$ je $\int_k z^n \d z = 0$ , jak uvedeno výše. Vidíme tedy, že koeficient $C_{-1}$ má význačné postavení -
je to tzv. residuum funkce $g$ v bodě $0$ - tímto bodem je míněn střed Laurentova rozvoje.

Residuovou větu ve finálním vyjádření pak bychom dostali dalším zobecněním těchto úvah.