Matematické Fórum

↑ Ivana:

Ahoj .-),

   jde o diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty. Máš dvě možnosti, zkusit metodu odhadu (tady to snad vypadá, že i půjde ;-)) - někdo ji nazývá metoda speciální pravé strany; nebo použitelnou variaci konstant (nožné číslo, proti dif. rovniciím prvého řádu).

   Na začátku jsi získala charakteristickou rovnici (rovnice se lambdami), kdy řešíš řešení pro homgenní rovnici (rpavá strana rovna nule). Dopracovala jsi se ke dvěma kořenům (lambda), z toho dostaneš fundamentální systém y_1 a y_2, ze kterých vytvoříš řešení  homogenní rovnice. Tedy řešením homogenní rovnice bude: .

   Jak víš, tak obecné řešení nehomogenní rovnice (nenulová rpavá strana) dostaneš součtem homogenního řešení a partikulárního řešení (partikulárním se často nazývá i konečné řešení s počátečními podmínkami).

   Někde výše jsem psal, že je možno řešit variací konstant (taková univerzální metoda ;)). Tedy do toho.


   Jako u dir. rovnic prvého řádu, udělejm z konstant (Cček) funkce proměnné x, tedy můžeme psát:

   

   Teď bys to jako u dif. rovnic prvého řádu derivovala (tentokrát dvakrát), dosadila a zkoušela nějak upravovat. Asi jednodušší je zapamatovat si, že u tohole typu rovnic můžeš použít takovéto "schéma" (teď bdue vidět, proč nepíši konstanty u fundamentálního systému):
(Pozn. je tu velká podobnost s Wronského maticí)

   

f(x) značím pravou stranu dif. rovnice druhého řádu, a_0 značím konstantu u y'', konstanty píši bez x, ale je jasné, že jde stále o funkce.

Vyřešíme soustavu rovnic a už budeme téěmř v cíli, takže směle dotoho -):

   

Přepišme si to pro ujednodušení do matice s rozšířenou pravou stranou:

   

A je matice našich funkcí, jen jsem byl líný to kopírovat ze spodního řídku ;-)

Máme konstanty, tedy dosadíem do našeho partikulárního řešení a nakonec přičteme k řešení homogennímu, tím získáme obecné řešení dané dif. rovnice:

   

   Je vidět, že mi to nevychází (ale jen nějaká drobnost -)), snad je srozumitelný postup, to psaní v textu mi dělá takhle potíže, zkus prosím najít, kde je chyba, postup můžeš použít stejný, já zkusím ještě popsat možnou metodu odhadu (tady to bude asi příjemnější řešení ;-)), oki?

PS: Možná by bylo vhodnější použít Cramerovo pravidlo na řešení matice (často vyjdou nehezké věci, tak to je jen tip do řešení ;-) - samozřejmě pak musí platit, že matice A musí být regulární (snad jsem tohle nezpletl -)).


EDIT: Matici mne určitě ubijí, protože to určitě není korektní, snad to vezmou s rezervou ;-)


EDIT: Metoda řešení odhadem (speciální pravá strana):

U jsem avizoval, že tento způsob bude pravděpodobně jednodušší (ikdyž ne vždy to tak asi je -)), ale není, tak univerzální jako variace konstant, podrobně si o tom asi někde přečteš, takže jen uvedu takové základní věci:

Metoda odhadem (speciálních pravých stran). Proč speciálních pravých stran? Je potřeba mít pravou stranu rovnice v nějakém tvaru, tím je asi jasné, že použití nebude unvierzální.

Tedy vezměmě tvoji dif. rovnici a zkusíme to demonstrovat:

   

Pravá strana ješ nějaká, jak poznáme, že to jde řešit odhadem? Jednoduše, pravá strana by měla jít přepsat na tvar:

   

- koeficienty vysvětlím později, ale je tu důležité, abys věděla, že P(x) a Q(x) jsou nějaké polynomy a hlavně tyto polynomy nemusí být stejné a nemusí mít stejný stupeň (tedy mohou být bez problémů rozlišné jak polynomy, tak jejich stupně!!!) - to vědět, za chvilku přibudou další dva polynomy a z těch se budu odkazovat sem (tam už je to totiž jinak) :-).

Zkusme se podívat, jaké "a" a "b" zvolit, aby nám vycházela pravá strana (zapomněl jsem zmínit "a,b" volíme podle sebe nebo podle pravé strany - hned uvidíš více konkrétně):

   

Snad je zřejmé, proč jsem volil a=0, b=1 (měli jsme zadaný sinus, tedy b bylo pevně danné) a jak jednotlivé polynomy (jednoduše, aby platila rovnost).


   Tedy víme, že naši rovnici půjde metodou odhadu řešit, teď přijdeme s návrhem partikulárního řešení (ano partikulárního, tzn. že obecné řešení dostaneme znovu součtem homogenního a partikulárního řešení).

Návrh partikulárního řešení obecně:

   

   Vypadá podobně, že? Ale je důležité neplést si popis jednotlivých částí, tedy: R(x) a S(x) jsou polynomy stejného stupně a tento stupeň je roven nejvyššímu stupni z polynomů P(x) a Q(x) (už vidíš, proč jsem na to předtím tak upozorňoval, že? =)), koeficienty "a, b"  jsou stejné jako u přepsané pravé strany rovnice (tedy a=0, b=1), nový koeficient "k" nám říká o násobnosti kořene (ukáži na příkladu, protože takhle napsané to nic neříká, ale špatně se to popisuje, tedy příklad bude nejlepší ;-)):

Nejprve potřebujeme charakteristickou rovnici a její řešení:
   

Teď si sestavíme z našeho "a, b" jakési alfa ve známém tvaru komplexních čísel a zjišťujeme, zda-li toto alfa není náhodou kořenem charakteristické rovnice a pokud je, tak kolikanásobným je (proto je k rovno násobnosti! kořene):

   
Slovně: je alfa kořenem charakteristické rovnice? Není, tedy alpha je nulanásobným kořenem char. rovnice (kdyby alfa byl jeden z kořenů, pak je k=1, kdyby alfa bylo rovno kořenu charakteristické rovnice a tento kořen byl dvojnásobný, pak k=2) a tedy k=0.

Snad jsem tohle popsal srozumitelně ;-).


Tedy my můžeme dále pracovat s naším návrhem partikulárního řešení dif. rovnice a propracovat se do konce.


   Prosím všimni si, že zde nám zůstanou obě gon. funkce (nemusí, ale teď to tak vyšlo), polynomy jsou stupně prvního, protože nejvyšší stupeň z polynomů P,Q je stupeň 1 (oba jsou stejného, kdyby jeden zp olynomů nebyl definovaný, tak ho ber třeba jako nulu, tedy stupně jedna). Ale pozor! Polynomy jsou sice stejného stupně, ale nemusí být stejné (proto volím konstanty A, B)!

   Dále je to už stejné jako, když děláš zkoušku (to jen můj hint). Zderivuješ jednou, poté po druhé, dosadíš do dif. rovnice a porovnáváš koeficienty u stejných exponentů (kdyby tam zůstalo x na nějakou) neznámé nebo stejných gon. funkcí (případně u stejných mocnin a současně stejných gon. funkcí). Tak jdeme na to ;-).



Partikulární řešení přičteme znovu k homogennímu a máme obecné řešení naší dif. rovnice:



   Omlouvám se, že mi to nevychází (variace - ale to už nás upozornil kaja.marik - děkuji), ale holt výpočty v texu jsou nepřehledné a chyby jsou poté hned nasnadě. Doufám, že jsem ti pomohl, alespoň s postupem řešení. Jsi bystrá a inteligentní, takže jistě obě řešení bez problémů zvládneš a kdyby něco, tak dej znovu vědět, ať se dozvím, kde byla chyba .-).

   Ještě nakonec přidávám odkaz na naše skripta, kde se řeší linf. dif. rovnice II. řádu právě metodami variace konstant a odhadem (na začátku jsem psal, že jde o rovnice s konstantními koeficienty, tak jen dodám, že a_0 je nenulové):
      Odkaz na skripta.


PS: Nakonec se ukázalo, že odhadem se řešení může skutečně zkrátit (ale řešili jsme ve škole i příklady, kde řešení odhadem bylo o dost zdlouhavější, tak se nenech zastrašit a do toho ;-)).

EDIT: Pro Ivanu a jelenu ještě poslední odkaz: youtube

EDIT II: Asi by se nakonec hodilo, uvést podmínky, které vzniknou řešením (tady snad žádná, krom u variace singularity matice).

EDIT III: Ještě jsem zapomněl, to "schéma" u variace konstant, není špatné si přečíst, jak se k tomu dospělo, není to nic, tak tragického a určitě neublíží si to jednou projít ;-).

↑ kaja.marik:

Děkuji ti moc, teď už to nebudu opravovat, přestávám se v tom zápise orientovat, ale snad by to pak vyšlo správně =).

↑ O.o:

Děkuji za výchovnou poznámku :-)

- já obvykle tuším "where", ale problém je "what time?" - když někdo má dědičné "přetočené" nejen denní, ale i roční hodiny (třeba teď na jaře je moc hezky, ale já se těším, že bude konečně září) a pak si vybere za místo pro život ČR, tak co se dá dělat.

Nechala jsem pro Tebe rozpracovaný úkol v tématech fyziky "Technologie" - tak, pokud bude čas a nálada - hodně zdaru a ještě bych byla vděčna za překontrolování efektivní a střední hodnoty - také ve fyzice.

Moc hezky pozdrav všem v tomto tématu :-)

↑ jelena:Zdravím :-) tebe a rodinu. Naše pozvání na léto platí :-)

Já pečlivě sleduji tvoje postupy v sekci fyziky o střední a efektivní hodnotě napětí.
Pozorně se dívám na tvé  řešení přes integrály.
Mně připadá tvoje řešení správné:-).
Ale zase nejsem takový odborník na integrály jako kolega↑ O.o:, kterého tímto zdravím :-)

A ten závěr, že by měla být hodnota nulová , když se obsahy v půlperiodách sobě rovnají mně připadá logické :-)