Matematické Fórum

jelena · 28. 07. 2014 19:34 — Editoval jelena (31. 07. 2014 23:15)

Zdravím,

vyčleněno z tématu. Zadání: integrujte $\int\frac{1}{1-\cos (x)}\d x$
doporučení k řešení:
(1) rozšíření $\frac{1+\cos x}{1+\cos x}$ (kolega ↑ Bati: upozorňuje na rizika tohoto rozšíření).
(2) použití vzorců pro jmenovatel: $1-\cos (x)=\sin^2$\frac{x}{2}$+\cos^2$\frac{x}{2}$-$\cos^2\(\frac{x}{2}$-\sin^2$\frac{x}{2}$\)$ .
(3) univerzální goniometrická substituce $\mathrm{tg}(x/2)=t$ od kolegy ↑ Eratosthenes:
(4) substituce $x=\arccos(t)$ od kolegy ↑ Lukáš Ba-mat-fyz:
(5) substituce od $\frac{1}{1-\cos x}=t$ od kolegy ↑ Lukáš Ba-mat-fyz:
(6) metoda algebraických rovnic od kolegy vanok

vanok napsal(a):
Nech
$I=\int\frac{1}{1-\cos (x)}\d x$
$J=\int\frac{1}{1+\cos (x)}\d x$ .
Najprv vypocitajme $I+J$ , $I-J$ a z toho $I$ , $J$ .

(7) přepis cos(x) do exponenciálního tvaru $\int\frac{1}{1-\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2}}\d x$ ode ↑ mne:

(8) A nástroje pro kontrolu, zejména MAW (se substituci $\mathrm{tg}(x/2)=t$

Děkuji.

rozsáhlá debata, která vznikla v důsledků nepřehledného zápisu a nepoužití MAW pro kontrolu Zobrazit/skrýt!

Eratosthenes · 29. 07. 2014 00:31

zdravím ↑ jelena:,

toto bych to viděl spíš na univerzální

$tg \frac x 2 = t \Rightarrow \cos x=\frac {1-t} {1+t^2}; \d x= \frac {2\d t} {1+t^2}$

$\int\frac{1}{1-\cos x}\d x =\int\frac{1}{1-\frac {1-t} {1+t^2}}\cdot \frac {2\d t} {1+t^2} = 2\int \frac{1+t^2} {t(t+1)} \cdot \frac {\d t} {1+t^2} =2\int \frac {\d t} {t(t+1)}$

Xellos · 29. 07. 2014 01:23

↑ Eratosthenes:

$\cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\int{\frac{1}{1-\cos{x}}\mathrm{d}x}=\int{\frac{1+t^2}{2t^2}\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t}=\int{\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t}=-\frac{1}{t}=-\cot{\frac{x}{2}}$

jelena · 29. 07. 2014 10:12

Zdravím,

↑ Eratosthenes:

děkuji, ale to je spíš krabička poslední záchrany ("poslední šance"). Pravdou je, že do strojových postupu jde zařadit nejsnadněji, také jako první volbu nabízí MAW, ale v reálném použití "jsou nezapamatovatelné" (slovy stejné autority, co se odvoláváš :-))

Eratosthenes · 29. 07. 2014 11:31

ahoj ↑ Xellos:,

díky za opravu, jak je vidět, počítat o půlnoci není u mě ten nejlepší nápad. Dvoječka vypadne raz dva...

Eratosthenes · 29. 07. 2014 11:35

ahoj ↑ jelena:,

no, někdy ta KPZ funguje lépe než všechno ostatní. A pamatovat nemusíš - stačí znát Pythagorovu větu, a pak odvozený vzoreček správně opsat (ta druhá část se speciálně mně moc nepovedla - o půlnoci jsou některá číslíčka na příliš zavřené oči příliš malá :-)

jelena · 29. 07. 2014 22:30

někdy ta KPZ funguje lépe než všechno ostatní.

:-) nepochybně - v situaci PZ.

A pamatovat nemusíš - stačí znát Pythagorovu větu, a pak odvozený vzoreček správně opsat

Já toho vůbec raději málo musím :-) Goniometrické substituce se odvozuji snadno, ale při použití patří ke stejné skupině vzorců, jako některé goniometrické - člověk ví, že jsou, skoro přesně ví, jak jsou, ale pro jistotu se musí podívat do tabulky, zda je v tom + nebo -. V tomto případě je zbytečné se věnovat vyhledání/odvození, jelikož je i snadnější cesta prostředky ZŠ (a o to nám musí jít především).

Vložila jsem do tématu anketu. Zdravím.

Xellos · 29. 07. 2014 23:54

↑ jelena:

Postup cez $\tan{\frac{x}{2}}$ a zakladne substitucie z neho (diferencial, sin/cos x/2, x) vedie k peknemu jednoduchemu vysledku, v ktorom vystupuje $\frac{x}{2}$ , co je taky hint ze rozsirenie zlomku asi neni dobry napad. Samozrejme vynimkou su ludia s uchylkou na vzorce ako $\tan{x}$ a $\frac{1}{\sin{x}}$ pomocou $\frac{x}{2}$ , ti sa v tom vyziju.

Pouzitie $1-\cos{x}=2\sin^2{\frac{x}{2}}$ je z toho ohladu lepsie, ale ten integral mi o nic trivialnejsi nepripada. Vobec nevidim co s nim ine ako zobrat si zasa $\tan{\frac{x}{2}}$ .

Strucne povedane: pekny prvy krok je fajn, ale len ak nie je za nim niekolko obludnych.

Predsa len, mat v menovateli integrandu goniometricke funkcie je o dost horsie ako mat tam $1/t^2$ .

Bati · 29. 07. 2014 23:55 — Editoval Bati (30. 07. 2014 00:01)

Zdravím.

Upozornil bych na to, že daný integrand obsahuje singularity a také, že postupy rozšíření zlomkem a přes tangensovou substituci přinášejí další nespojitosti, které je třeba ošetřit zvolením vhodného intervalu pro hledání primitivní funkce. To v uvedených výpočtech bylo zamlčeno, proto bych je označil spíše jako formální.

Z tohoto hlediska je zřejmě nejlepší úprava přes goniometrické vzorce, která rovnou vede na známý integrál.

↑ Xellos:
Po úpravě již lze rovnou napsat výsledek, neboť fakt, že
$(\text{cotg}\,x)'=-\frac1{\sin^2{x}}$ pro určitá x je podle mého názoru dobře známý.

misaH · 30. 07. 2014 00:02

↑ jelena:

Prostriedkami ZŠ? Naozaj?

Nikdy nie je isté, čo je pre výklad a prístup jednoduchšie.

Predsa skúsenosti a vedomosti u rôznych ľudí sú rôzne.

Domnievam sa, že zadávatelia sú tí, ktorí si vyberajú, čo najviac konvenuje práve im.

Niekedy práve to "najjednoduchšie" je úplne iné ako to, čo oni poznajú a používajú a preto by si ten "najjednoduchší" postup (vraj ZŠ) nikdy nevybrali.

Ale možnože aj hej - hodnotenie náročnosti postupu my vôbec nemusíme odhadnúť.

Xellos · 30. 07. 2014 00:05 — Editoval Xellos (30. 07. 2014 00:10)

↑ Bati:

Ok, singularity su, ale to len ked je $x$ nasobok $\pi$ , vsak?

Z toho parne nasobky $\pi$ budu singularity tak ci tak a staci oddiskutovat/nalepit neparne.

Ale nemyslim si ze to je pointa ulohy, tych s jednoduchym postupom a grcnou diskusiou je dost aj tak.

___

No, pre teba mozno bolo $\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}}$ "pozriem a vidim", pre mna ale "pozriem a nevidim". Spatne a ked clovek vie derivaciu $\tan{x}$ tak mi to je jasne, ale zalezi aj na situacii - a v tejto situacii bol pouzit nie velmi skaredu paku pre mna ten o dost lepsi postup.

A tazko posudit co je zname komu... a kedy...

Bati · 30. 07. 2014 00:19 — Editoval Bati (30. 07. 2014 00:26)

↑ Xellos:
Můj příspěvek byl myšlen spíše jako poznámka, nikomu žádný postup nevnucuji. Diskutovat o intervalu, kde primitivní funkce existuje může být důležité, a některé postupy mohou vyžadovat rozsáhlejší diskuzi než jiné - tangensová substituce je typickým příkladem.

Xellos napsal(a):
A tazko posudit co je zname komu... a kedy...

S tím samozřejmě souhlasím, vycházím z toho, že téma je v sekci Vysoká škola.

Lukáš Ba-mat-fyz · 30. 07. 2014 09:45

ehm ja skusil substituci $x=\arccos(t)$ co viedlo k $-\int \frac{dt}{(1+t)^{1/2}(1-t)^{3/2}}$ . Dalej som pouzil substituciu $(1-t)^{-\frac{1}{2}}=a$ odkial som dostal $-\int \frac{2da}{(2-\frac{1}{a^2})^{1/2}}$ . Dalej dostavame $-\int \frac{2|a|da}{(2a^2-1)^{\frac{1}{2}}}$ . Tu neviem ci fajn, ale tak ako to byva u absolutnych hodnot, tak som to zmenil len na dvojnasobok integral, aj ked sa to robi asi skor pri urcitych(a parnych), ale nevadi a dostal som celkovo $-\int \frac{4a da}{(2a^2-1)^\frac{1}{2}}$ a to uz ide zintegrovat aj z hlavy na $2(2a^2-1)^\frac{1}{2}$ . Asi nie je spravny ta premena absolutnej hodnoty ale ako napad som chcel napisat,ze sa mozno hodi.

Lukáš Ba-mat-fyz · 30. 07. 2014 10:06

a nebo skusit substituci tu sice najhorsiu a to $\frac{1}{1-\cos x}=t$ a dostavame $dx \frac{-\sin x}{(1-\cos x)^2}=dt$ a vyjadrenim pre sinus dostaneme $\sin x = \sqrt \frac{2t-1}{t^2}$ a po dosadeni mame $\int -\frac{1}{\sqrt {2t-1}}$ a vysledok tohoto je uz lahky, podobny tomu predchadzajucemu

jelena · 30. 07. 2014 13:48

Zdravím v tématu a děkuji za příspěvky. Doufám, že téma vnímáte v odlehčeném prázdninovém stylu :-)

Xellos napsal(a):
vedie k peknemu jednoduchemu vysledku, v ktorom vystupuje $\frac{x}{2}$ , co je taky hint ze rozsirenie zlomku asi neni dobry napad.

to je zajímavý moment - kolega začíná rozšířením zlomku (je to nepřesné a nečitelné, ale rozluštit jde). Zastavila ho až neshoda s výsledkem, ve kterém x/2 vystupuje (pokud by výsledek neměl, svůj výsledek integrování kontroloval derivováním a úpravou, tak by zřejmě žádný problém nenašel). Byla by to potom chyba např. při písemce?

Ohledně tabulkového $\int \frac{1}{\sin^2 x}\d x$ už upřesnil kolega ↑ Bati:.

Bati napsal(a):
To v uvedených výpočtech bylo zamlčeno, proto bych je označil spíše jako formální.

ano, také bych tak brala. Otázka existence/vzniku singularit při úpravách se málokdy speciálně zdůrazňuje, což je možná škoda (větší důraz by zřejmě byl u určitých integrálů - tak?).

misaH napsal(a):
Prostriedkami ZŠ? Naozaj?

:-) to je místní folklor (autorem je kolega Marian a je/bylo výzvou dokázat, že jde řešit prostředky ZŠ), jako každý folklor jednou zanikne, pokud nebude nikdo, kdo ho bude opečovávat a rozvíjet. Já jsem to vztáhla opět k rozšíření zlomku na úvod řešení.

Ještě mám takovou velkou prosbu - nějak se nevhodně zavedlo označení kolegů, co pokládají dotazy za "tazatele". Všimla jsem, že používáte "zadavatele" a "řešitele". Fórum je ovšem internetová diskuse, ve které vystupuje autor tématu (zakladatel tématu, nebo, jak v angl. verzi používá kolega Brano, tak TC), potom diskutující kolegové, případně uživatele fóra. Vztah "zadavatel" a "řešitel" by se tomuto kolegiálnímu uspořádání hodně vymykal. Tak pokud by šlo spíš "autor tématu" a "kolegové" nebo pod. Děkuji.

Domnievam sa, že zadávatelia sú tí, ktorí si vyberajú, čo najviac konvenuje práve im.

to samozřejmě hodně záleží na stylu tématu. Zde se často zapomíná (u autorů dotazů), že existuji určitá pravidla internetových diskusí (odkazy "jak se ptát"), prospívající kvalitě témat a poskytnutých rad. Jak si mohou vybírat, pokud dle charakteru dotazu je zřejmé, že v problému se nepokouší zorientovat a ani neusnadňuji orientaci ostatním.

↑ Lukáš Ba-mat-fyz:

ehm :-) ještě chybí metoda přepisu cos(x) do exponenciálně/komplexního tvaru (náhodou, také vyjde pěkně).

Lukáš Ba-mat-fyz · 30. 07. 2014 14:04

jelena napsal(a):
ehm :-) ještě chybí metoda přepisu cos(x) do exponenciálně/komplexního tvaru (náhodou, také vyjde pěkně).

Tak tolik casu v praci nemam,ak sa na to niekto da, budeme len radi.

vanok · 30. 07. 2014 18:28

Dalsia variacia:
Mozno niekomu sa aj toto zapaci
Nech
$I=\int\frac{1}{1-\cos (x)}\d x$
$J=\int\frac{1}{1+\cos (x)}\d x$ .
Najprv vypocitajme $I+J$ , $I-J$ a z toho $I$ , $J$ .

jelena · 31. 07. 2014 11:31

↑ Lukáš Ba-mat-fyz:

ten je zrovna jeden z nejméně náročných (jasně, že nebudeme integrovat v komplexním oboru, jen využijeme přepis). $\int\frac{1}{1-\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2}}\d x$ a pokud jsem dobře upravovala, tak potom substituce $$e^{\mathrm{i}x}-1$=t$ , výsledek integrování upravíme zpět do goniometrických funkcí.

Souhlasíte, že nejroztomilejší návrh má kolega ↑ vanok:? :-)

Pokud bude pokračovat příznivý trend v počasí (prší), tak v pozdněvečerních hodinách přepíší návrhy do úvodního příspěvku. Děkuji a zdravím.

Xellos · 31. 07. 2014 12:58 — Editoval Xellos (31. 07. 2014 13:02)

jelena napsal(a):
Souhlasíte, že nejroztomilejší návrh má kolega ↑ vanok:? :-)

Eh, je to len inak zapisane rozsirenie zlomku.

Napad ratat niekolko integralov ktore su navzajom previazane je velmi uzitocny, ale podla mna je ho v tomto priklade skoda.

jelena · 31. 07. 2014 23:20

Xellos napsal(a):
Eh, je to len inak zapisane rozsirenie zlomku.

:-) což je podstata vtipu.

Napad ratat niekolko integralov ktore su navzajom previazane je velmi uzitocny, ale podla mna je ho v tomto priklade skoda.

Když jsme ausgerechnet jiný příklad (úlohu) neměli. Ale není žádné omezení k návrhu úlohy, kde to škoda nebude. Úvodní ↑ příspěvek: jsem doplnila (snad jsou názvy metod ucházející a žádný z návrhů nevypadl). Autor námětu kolega Jencek však již postoupil k další látce a ani nevím, zda tento průzkum zaregistroval.

Obdobné téma jsme měli zde, pokud je zájem.

vanok · 01. 08. 2014 13:32

Pozdravujem,
Poznamka:
Bolo by zaujimave urobit malu diskuziu, co sa tyka riesenia tohto cvicenia.

Rumburak

Zdravím vespolek.

Pokud jde o diskusi, kterou navrhl kolega ↑ vanok::

Máme zde dvě hlediska:

1) Zda je postup řešení správný, což je hledisko čístě odborné a z tohoto pohledu bych všechna správná řešení
považoval za rovnocenná.

2) Do jaké míry nás (správný) postup řešení uspokojuje po stránce pocitové, tj. do jaké míry lahodí našemu smyslu
pro eleganci, vtip, kreativitu a pod., což je samozřejmě hledisko poněkud subjektovní. Po této stránce se mi
ze všech zde uvedených správných postupů nejvíce líbí diskutované řešení kolegy Vanka, ale kdybych měl integrál
počítat "na čas" (jako třeba v písemce), tak bych raději použil vzorec pro poloviční "úhel".

vanok · 02. 08. 2014 12:55

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Ja som tiez myslel, ze by bolo zaujimave vysetrit lubovolnu primitivnu funkciu, jej defininy obor a tak charakterizovat mnozinu rieseni.

miso16211 · 02. 08. 2014 22:10

použijem program geogebra a odtud spätne hľadám možné riešenia :D

vanok · 03. 08. 2014 00:47 — Editoval vanok (03. 08. 2014 08:56)

Ahoj ↑ miso16211:,
Problem sa da o mnoho jednoduchsie vyriesit. Staci vediet pouzit pojem primitivnej funkcie(=neurcity integral).

Rozšířím zlomek výrazem (1+cos(x))		12% - 3
Upravím jmenov. přes zákl. goniom. vzorce na arg. x/2		25% - 6
Použiji univerz. goniom. substituci tg(x/2)=t		20% - 5
Jiný postup - doplním v tématu		12% - 3
Jiný postup - neprozradím		4% - 1
Použiji MAW z odkazu v horní liště fóra		0% - 0
Nevím, co je MAW a/nebo kde je horní lišta fóra.		4% - 1
"Je mi to jedno" (c)		4% - 1
Nezačnu integrovat		4% - 1
V Lážově je krásně za každého počasí!		12% - 3
Počet hlasujících: 21

Matematické Fórum

Anketa

#1 28. 07. 2014 19:34 — Editoval jelena (31. 07. 2014 23:15)

Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

vanok napsal(a):

Jencek napsal(a):

jelena napsal(a):

Cheop napsal(a):

Jelena napsal(a):

#2 29. 07. 2014 00:31

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#3 29. 07. 2014 01:23

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#4 29. 07. 2014 10:12

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#5 29. 07. 2014 11:31

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#6 29. 07. 2014 11:35

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#7 29. 07. 2014 22:30

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#8 29. 07. 2014 23:54

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#9 29. 07. 2014 23:55 — Editoval Bati (30. 07. 2014 00:01)

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#10 30. 07. 2014 00:02

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#11 30. 07. 2014 00:05 — Editoval Xellos (30. 07. 2014 00:10)

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#12 30. 07. 2014 00:19 — Editoval Bati (30. 07. 2014 00:26)

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

Xellos napsal(a):

#13 30. 07. 2014 09:45

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#14 30. 07. 2014 10:06

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#15 30. 07. 2014 13:48

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

Xellos napsal(a):

Bati napsal(a):

misaH napsal(a):

#16 30. 07. 2014 14:04

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

jelena napsal(a):

#17 30. 07. 2014 18:28

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#18 31. 07. 2014 11:31

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#19 31. 07. 2014 12:58 — Editoval Xellos (31. 07. 2014 13:02)

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

jelena napsal(a):

#20 31. 07. 2014 23:20

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

Xellos napsal(a):

#21 01. 08. 2014 13:32

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#22 02. 08. 2014 12:23 — Editoval Rumburak (02. 08. 2014 12:34)

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#23 02. 08. 2014 12:55

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#24 02. 08. 2014 22:10

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

#25 03. 08. 2014 00:47 — Editoval vanok (03. 08. 2014 08:56)

Re: Druhý nepříliš těžký integrál od kolegy Jencek

Zápatí