Matematické Fórum

jan019 · 28. 10. 2014 17:46

Ahoj,

Potřeboval bych poradit s příkladem.

"L je lineární prostor všech polynomů nejvýše 2. stupně. Podle definice rozhodněte, zda jsou následující podmnožiny tohoto prostoru lineárními podprostory lineárního prostoru L.
(a) $L = \{ax^{2} + bx + c; a + b - 2c = 0\}$
(b) $L = \{ax^{2} + bx + c; a - b + 2c = 1\}$
(c) $L = \{ax^{2} + bx + c; a^{2} + 2b - c = 0\}$
(d) $L = \{ax^{2} + bx + c; a + b \cdot c = 0\}$
"

Vím, že aby podmnožina byla lineárním podprostorem prostoru, musí být uzavřená na všechny operace. Ale nevím, jak to mám dokázat. Budu opravdu vděčný za rady. Děkuju.

Honza

OndrasV · 28. 10. 2014 19:48

↑ jan019: Jé, příklady z FELu. Postup je tento. Lin. podprostor musí obsahovat nulový prvek, tj. na tomto testu vyhoří b). Jinak musí být podprostor uzavřený na násobení lib. konstantou a na součet vektorů.

U c) a d) si zvolíš nějaký prvek, který tam patří. Pro c) např. $x^{2}+x+1$ , pro d) např. $x^{2}-x+1$ . Splňují podmínku např. jejich dvojnásobky?

U a) si vezmi dva různé kvadratické polynomy, pro které obecně patří podmínka. Pokud polynom vynásobíš lib. konstantou, tak rovnice z podmínky zůstane splněna. Pokud oba polynomy splňjjí podmínku, tak koeficienty jejich součtů tu podmínku splňují taky, ne?

jan019 · 28. 10. 2014 20:41

↑ OndrasV:

Dík za odpověď. Zvolit si nějaký prvek, který tam patří - to znamená, jakýkoliv polynom nejvýše druhého stupně jo? To znamená, že polynom před středníkem je vlastně jenom podmínka? A to co je za středníkem nemusím vůbec využít?

OndrasV · 28. 10. 2014 21:01

Polynom před středníkem ti říká, že jde o prostor pol. nejvýše druhého stupně. To druhé definuje podmínku na hodnoty jejich koeficientů.

jan019 · 28. 10. 2014 22:11

Oka. Ale v tom případě, $x^{2}+x+1$ u c) nesplnuje podmínku už v tomto stadiu ne? Takhle jsou koeficienty a = 1; b = 1; c = 1, toto ale když dosadím do rovnice podmínky na koeficienty, tak to nevyjde nula, ale 2 :O

OndrasV · 29. 10. 2014 10:56

↑ jan019: Máš pravdu, přehlédl jsem se, má tam být např. $x^{2}-x+1$ . Ale hlavní je myšlenka a ta vedla k cíli a ty jsi j pochopil

jan019 · 29. 10. 2014 13:46

Super, jenom jsem se ujišťoval, jestli jsem to pochopil dobře. Díky moc za pomoc!

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2014 17:46

Lineární podprostory

#2 28. 10. 2014 19:48

Re: Lineární podprostory

#3 28. 10. 2014 20:41

Re: Lineární podprostory

#4 28. 10. 2014 21:01

Re: Lineární podprostory

#5 28. 10. 2014 22:11

Re: Lineární podprostory

#6 29. 10. 2014 10:56

Re: Lineární podprostory

#7 29. 10. 2014 13:46

Re: Lineární podprostory

Zápatí