Matematické Fórum

check_drummer · 25. 11. 2014 16:04

Ahoj,
pokouším se sestrojit zcela obecné rozšíření tělesa $\mathbb{R}$ tak, že tímto rozšířením bude těleso dvojic $S:=\mathbb{R}^2$ . (Směřujeme k tomu, že $S=\mathbb{C}$ .). Přičemž (*) $\mathbb{R} \subset S$ (tj. $\mathbb{R} \neq S$ ) a bodům $r \in \mathbb{R}$ odpovídají body $[r,0] \in S$ . Chceme aby S bylo rovněž těleso (tj. mj. operace +,. jsou komutativní a asociativní) - a díky (*) je [0,0] nulový a [1,0] jednotkový prvek v S.

(**) Nyní se pokouším dokázat, že již musí být $S=\mathbb{C}$ .

Zatím jsem si situaci trochu zejdnodušil a předpokládám, že operace + je v S definována jako v $\mathbb{C}$ , tj. [x,y]+[z,w]=[x+z,y+w] a že operace "." je v S definována jako [x,y].[z,w]=[f(x,y,z,w),g(x,y,z,w)], kde f,g jsou polynomy v proměnných x,y,z,w. Dokonce jsem si to ještě zjednodušil a předpokládám, že f,g jsou homogenní stupně 2 a že neobsahují členy $x^2$ , $y^2$ ,.. ale jen členy tvořené součinem různých proměnných jako x.y,x.z, apod. Navíc předpokládám, že na S je definována norma || splňující pro $u \in S$ (***) $|u^n|=|u|^n$ , kde || je definována jako v $S=\mathbb{C}$ , tj. pro u=[v,w] je $|u|:=\sqrt{v^2+w^2}$ .

Na základě těchto speciálních předpokladů již jsem schopen dokázat (**). Otázka však je, zda jsou všechny předpoklady opravdu nutné (řekl bych, že z (***) by mohl plynout tvar operace + a částečně tvar operace ., které předpokládám) - a zda pro slabší předpoklady nezískám i jině těleso než $\mathbb{C}$ .

OiBobik

↑ check_drummer:

Ahoj,

možná neodpovídám na to, na co se ptáš, ale tak zkusim to. Tady přesně pomůže alespoň základní abstrakce. Tady to bude hlavně lineárka.

0) v zásadě nic tě nedonutí, aby "skutečně" $S=\mathbb{C}$ , pokud opravdu nepoužíváš nějaké předpoklady navíc - vem si třeba nějakou ošklivou bijekci $b: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C},$ která na $\mathbb{R}$ je identita, a definuj na $S$ operace pomocí té bijekce, tj. $[a,b]+[c,d]:=b^{-1}(b([a,b])+b([c,d])),$ kde to $+$ nalevo definuješ pomocí toho $+$ napravo, které pochází skutečně z komplexních čísel, atd. Dostaneš isomorfní kopii $\mathbb{C}$ , ale jednotlivé prvky se (s výjimkou $\mathbb{R}$ ) budou jmenovat jinak. Takže lepší je asi požadovat isomorfismus, ne identitu.

1) Když vezmeš libovolný prvek $s \in S \setminus \mathbb{R}$ , lze nahlédnout, že $s$ je kořenem nějakého ireducibilního polynomu nad reálnými čísly.

2) Když si rozmyslíš, jak ir. kvadratické reálné polynomy vypadají, pak už snadno najdeš, že v $S$ musí být odmocnina z $-1$ - tedy kořen polynomu $x^2+1$ .

3) z důvodů reálné dimenze se dá vykoukat, že přihozením této odmocniny z $-1$ a uzavřením na tělesové operace už dostaneš celý $S$ , (Toto není pravda, nemáš zatím zdůvodněno, že $\dim_{\mathbb{R}}S=2$ . Závěr určitě platí, jen se to musí říct jemněji - v zásadě asi jako ve 2), podívám se na irr polynomy nad reálnými čísly, ty jsou nejvýše kvadratické... atd)

4) No a pak už snadno sestrojíš isomorfismus těles $S \stackrel{\simeq}{\rightarrow} \mathbb{C}$ .

check_drummer · 01. 12. 2014 22:35

OiBobik napsal(a):
1) Když vezmeš libovolný prvek $s \in S \setminus \mathbb{R}$ , lze nahlédnout, že $s$ je kořenem nějakého ireducibilního polynomu nad reálnými čísly.

Ahoj, díky za reakci. Nějak nevidím, proč by měl bod 1 platit. Můžeš prosím stručně naznačit důkaz?

vanok · 02. 12. 2014 00:04

Pozdravujem
Podla http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Histoire … _complexes
Hamilton uviedol prvy komplexe cisla ako dvojice realnych cisiel z ich operaciamy. ( v tom istom texte mas aj Cauchy-ho pohlad na tuto temu)

Brano · 02. 12. 2014 13:35

OiBobik napsal(a):
2) Když si rozmyslíš, jak ir. kvadratické reálné polynomy vypadají, pak už snadno najdeš, že v $S$ musí být odmocnina z $-1$ - tedy kořen polynomu $x^2+1$ .

no nejak moc sa do toho nerozumiem, ale ↑ check_drummer: chcel nejake rozsirenie R nie nutne zuplnenie a ty podla mna predpokladas rovno uplnost - cize najprv by si ju asi mal dokazat

OiBobik

↑ Brano: ↑ check_drummer:

Ahoj,

máte pravdu, co jsem implicitně předpokládal, je že chceme, aby
1) $S$ bylo komutativní těleso (což jsem teda bral jako definici, tj. angl. "field"), a
2) $S$ byl $\mathbb{R}$ -lineární prostor konečné dimenze.

Takže ten argument projde, ale jen zase za nějakých dodatečných předpokladů.

Bez toho s tím samozřejmě opět nejde hnout ( $S\setminus \mathbb{R}$ je množina mohutnosti kontinua, tj dostatečně velká na to, abych tam nacpal libovolné rozšíření $\mathbb{R}$ s libovolně velkou transcendentní bází až do velikosti kontinua).

Rumburak · 04. 12. 2014 12:00

↑ check_drummer:

Ahoj (zdravím i ostatní účastníky diskuse) .

Ve svém úvodním příspěvku píšeš:

Směřujeme k tomu, že $S=\mathbb{C}$

,

Nyní se pokouším dokázat, že již musí být $S=\mathbb{C}$ .

Takže partrně předpokládáš, že $\mathbb{C}$ již nějakým způsobem zavedeno JE.
A JAK si tedy definici tělesa $\mathbb{C}$ představuješ? Přesněji : jak si představuješ tu definici tělesa $\mathbb{C}$ ,
s níž chceš svoji konstrukci zkonfrontovat ?

check_drummer · 04. 12. 2014 20:56

↑ Rumburak:
Ahoj,
chtěl jsem dojít k tomu, že definice násobení a sčítání musí být definováno jako v $\mathbb{C}$ , tj. [x,y]+[z,w]=[x+z,y+w] a [x,y].[z,w]=[xz-yw,xw+yz].

vanok · 04. 12. 2014 23:56

↑ check_drummer:,
Tak preco ignorujes prispevok co som ti poradil?
Hamiltonov pristup ti dava odpovede na tvoje otazky. ( a podobne ako on by si mohol prist aj quaternionom)
A na webe najdes o mnoho viac.

Inac kniha od Ebbinghaus, and all Numbers (springer-verlag) je viac ako uzitocne citanie na tuto temu.

Dobre pokracovanie. ( oplati sa investovat do slovnikov!)

Rumburak

↑ check_drummer:

Stále jsi nenaznačil, jak si "klasická" komplexní čísla (jejichž teorii chceš vybudovat "alternativním" způsobem
pomocí usp. dvojic reálných čísel) představuješ.

Pokud bereš k. č. jako výrazy tvaru

(1) $x + y \mathrm{i} ( x , y \in \mathbb{R} , \mathrm{i} \notin \mathbb{R})$

(s nimiž je algebraicky nakládáno podle známých pravidel) , pak Tvůj přístup přes $\mathbb{R}^2$ nedává nic nového,
protože výraz (1) lze rovněž považovat za uspořádanou dvojici $[x, y] \in \mathbb{R}^2$ , která jen jen zapsána poněkud
jinou formou, než jak je u uspořádaných dvojic běžné.

check_drummer · 06. 12. 2014 12:21

↑ Rumburak:
Ahoj, mým cílem není sestrojit "alternativní" komplexní čísla - ale hledám postačující podmínky takové, aby sčítání a násobení dvojic reálných čísel bylo definováno tak, jako u komplexních čísel, tedy abych získal komplexní čísla. Začínám pouze z předpokladem, že takto vzniklé těleso musí být rozšířením reálných čísel (a operace násobení musí být komutativní, co žse zpravidla u těles předpokládá). To ovšem neznamená, že z toho již plyne, že takové těleso už musí být těleso komplexních čísel.
Obecně bude [x,y]+[z,w]=[f(x,y,z,w),g(x,y,z,w)] pro nějaké funkce f,g (a podobně pro násobení). A já chci nalézt další vhodné dodatečné podmínky (označme je P) (o některých píšu výše, např. ve svém prvním příspěvku), aby již f a g měly tvar odpovídající sčítání komplexních čísel (tj. f=x+z, g:=y+w) - a podobně pro násobení.
Tedy to podstatné na tomto problému je nalézt vhodné P - které již zaručují, že uvedeným rozšířením získáme těleso komplexních čísel. Samozřejmě P mohou být určeny nejednoznačně, spíš jde o to ,aby byly co nejjendoudšší, bylo jich co nejméně (je to vágní formulace, ale snad je jasné co tím myslím).

Bati · 06. 12. 2014 16:59 — Editoval Bati (06. 12. 2014 17:00)

↑ check_drummer:
Ahoj,
jakmile vezmeš prvek $x$ , který nepatří do reálných čísel a budeš požadovat, aby rozšíření $\mathbb{R}(x)$ (tj. množina $\{a+bx;a,b\in\mathbb{R}\}$ ) bylo těleso, pak už ti vyjde, že násobení splývá s násobením v $\mathbb{C}$ .

Můžu napsat jak, ale nevím jestli to je to, co chceš.

check_drummer · 06. 12. 2014 22:42

↑ Bati:
Ahoj, nejsem si jist, zda je a+bx a dvojice [a,b] totéž. Podle mého je tvůj tvar příliš speciální.

Rumburak

↑ check_drummer:

Předpokládejme, že komlexní čísla zatím nemáme.
Pokud vezmeme x tak, jak předpoklá kolega ↑ Bati:, potom symbol a+bx s reálnými čísly a, b je
sám o sobě (bez dalších definic) jen symbol bez konkretního algebraického obsahu, tedy obdobně
jako usp. dvojice [a,b], a je tudíž lhostejné, zda následné defince součtu a součinu "budoucích"
kompl. č. zavádíme se symboly (a+bx), (c+dx) nebo se symboly [a, b] , [c, d] . V prvním případě
máme ovšem drobný problém v tom, že znaménko + má v zápise (a+bx) + (c+dx) dvojí význam -
oddělovače v symbolech (a+bx), (c+dx) a zároveň nově zavedeného algebraického operátoru pro
jejich součet. Obdobně pokud jde o znaménko součinu. Proto pracovat přímo s usp. dvojicemi
[a, b] , [c, d] je jistě lepší, protože uvedenému problému se tím vyhneme, a mnozí autoři učebnic
tak postupují (usp. dvojici [c, 0] nakonec ztotožní s reálným číslem c a pro [0, 1] vyhradí symbol i).
Ale jde v podstatě jen o kosmetický rozdíl.

EDIT. Ještě doplním vhodné definice alg. operací s "dvojicemi" :

$[a, b] + [c, d] := [a + c, b + d]$ ,
$[a, b] \cdot [c, d] := [ac - bd, ad + bc]$ .

Odtud snadno dokážeme, že

$[a, 0] + [c, 0] = [a + c, 0]$ ,
$[a, 0] \cdot [c, 0] = [ac, 0]$ ,
$[a, b] = [a, 0] \cdot [a, 0] + [b , 0] \cdot [0, 1]$ ,
$[0 , 1] \cdot [0 , 1] = [-1, 0]$

a další.

Licencí $[a, 0] = a , i := [0, 1]$ tedy máme $[a, b] = a + bi , i^2 = -1$ atd.

check_drummer · 08. 12. 2014 18:11

Rumburak napsal(a):
EDIT. Ještě doplním vhodné definice alg. operací s "dvojicemi" :

$[a, b] + [c, d] := [a + c, b + d]$ ,
$[a, b] \cdot [c, d] := [ac - bd, ad + bc]$ .

Ahoj, ale to je právě to, co je požadováno dokázat - že sčítání a násobení bude mít právě takovýto tvar. Tedy hledám takové vhodné předpoklady P na těleso S, aby sčítání a odčítání již bylo nutně definováno tak jak píšeš. P hledám "vhodné", aby byly co nejjednodušší a aby "nevnucovaly" to, že S má být uzavřené, má obsahovat "odmocninu z -1", apod. Znovu opakuji, že P lze volit mnoha způsoby a např. ten můj pomocí normy (můj první příspěvek) se zdá být vhodný, ale nevím zda je dostatečný.

Rumburak · 09. 12. 2014 11:27

↑ check_drummer:

Ahoj.

Už asi chápu, o co Ti jde - chceš dospět ke KČ nějakým "přirozenějším" způsobem, než běžnou metodu "zdola".
Ale k tomu mne (zatím) nic nenapdá.

check_drummer · 09. 12. 2014 17:00

↑ Rumburak:
Přesně tak.

Rumburak

↑ check_drummer:

A co takto:

Hledáme komutativní těleso $\mathbb{C}$ , které

(1) je nadtělesem tělesa $\mathbb{R}$ všech reálných čísel,

(2) je algebraicky uzavřené
(tj. každý polynom kladného stupně s koeficienty v $\mathbb{C}$ má v $\mathbb{C}$ kořen),

(3) je nejmenším komutativním tělesem s vlastnostmi (1), (2) .

Uvažujme nejprve o NUTNÝCH podmínkách, které musí být v hledaném tělese $\mathbb{C}$ splněny.

Polynom $x^2 + 1$ musí mít v $\mathbb{C}$ kořen - jeden takový pevně zvolme a označme ho $\mathrm{i}$ .
Je zřejmé, že $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ ,

Snadno nahlédneme, že $\mathbb{C}$ nutně musí obsahovat všechny prvky tvaru

(4) $a + b\,\mathrm{i}$ , kde $a, b \in \mathbb{R}$ (součet a součin zde již bereme jako operace v $\mathbb{C}$ ).

Odtud snadno zjistíme, jak budou vypadat algebraické operace s prvky (4) v obecném případě:

(5) $(a + b\,\mathrm{i}) + (c + d\,\mathrm{i}) = (a + c) + (b+d)\,\mathrm{i}$ ,

(6) $(a + b\,\mathrm{i}) \cdot (c + d\,\mathrm{i}) = ac + ad\,\mathrm{i} + b\,\mathrm{i}\,c + b\,\mathrm{i}\,d\,\mathrm{i}= ac + (ad + bc) \,\mathrm{i} + bd\,\mathrm{i}^2 =\\= (ac - bd) + (ad + bc) \,\mathrm{i}$ ,

neboť $\mathrm{i}$ bylo zvoleno tak, aby $\mathrm{i}^2 = -1$ .

Také není těžké ověřit, že již sama množina $S$ všech prvků tvaru (4) s operacemi (5), (6) je komutativní
těleso s nulovým prvkem 0 a jednotkovým prvkem 1. Je tedy nejmenším kom. tělesem obsahujícím
množinu $\mathbb{R} \cup \{\mathrm{i}\}$ tak, aby $\mathbb{R}$ bylo podtělesem v $S$ .

Dokážeme-li dále, že těleso $S$ je algebraicky uzavřené, můžeme položit $\mathbb{C} := S$ a cíl najít těleso $\mathbb{C}$
s požadovanými vlastnostmi bude tím splněn. Důkaz algebraické uzavřenosti tělesa $S$ však již není tak
snadný - rovná se důkazu Základní věty algebry v tělese $S$ .

check_drummer · 10. 12. 2014 23:16

↑ Rumburak:
Ahoj, ale jak víš, že S bude vypadat zrovna tak, jak píšeš? Operace sčítání a násobení nejsou zadány...

Bati · 11. 12. 2014 00:39 — Editoval Bati (11. 12. 2014 11:15)

↑ check_drummer:
Už to moc nepamatuju, ale ono nějak stačí ukázat, že na $\mathbb{R}[X]/_{(X^2+1)}$ se dá koukat jako na vektorový prostor nad $\mathbb{R}$ s bází $\{[1],[X]=:i\}$ . Ale ve vektorovém prostoru sčítání už máme - to je přesně to sčítání po složkách. Takže stačí vyřešit násobení, ale to už se pak dostane ze sčítání a axiomů tělesa. Tak jsem přibližně myslel ten svůj předchozí příspěvek.

To, že to je opravdu vektorový prostor vlastně plyne z toho tvrzení, které říká něco jako, že dimenze faktorokruhu odpovídá stupni toho minimálního polynomu, který generuje ten ideál.

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj.

Tvary (5), (6) těch operací v $S$ plynou z předpokladů, které klademe na hledané těleso $\mathbb{C}$ .

Podrobněji:

I. Jsou-li $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ , potom také $a, b, c, d \in \mathbb{C}$ , neboť $\mathbb{R}$ má být podtělesem v $\mathbb{C}$ .

II. Polynom $x^2 + 1$ , který nemá kořen v $\mathbb{R}$ , má mít kořen $\mathrm{i} \in \mathbb{C}$ , tedy $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ .

III. Těleso $\mathbb{C}$ musí být (jako každé těleso) uzavřené na operace součtu a součinu, proto spolu
s uvažovanými $a, b, c, d , \mathrm{i} \in \mathbb{C}$ nutně obsahuje i prvky $a + b\,\mathrm{i}, c + d\,\mathrm{i}$ , bereme-li zde
součet a součin již jako operace v tělese $\mathbb{C}$ (že o takových operacích můžeme uvažovat, plyne
z předpokladu, že $\mathbb{C}$ je těleso).

IV. Při odvození vztahů (5), (6) pro součet a součin prvků $a + b\,\mathrm{i}, c + d\,\mathrm{i}$ (s operacemi v tělese $\mathbb{C}$ )
využíváme vedle předpokladu $\mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = \mathrm{i}^2 = -1$ už jen obecných vlastností operací součtu a součinu
v libovolném komutativním tělese, tedy asociativní a komutativní zákony, distributivní zákon.

V. Že pro $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ jsou výrazy $a + c, ac, ac - bd$ apod. v tělese $\mathbb{C}$ po řadě totožné
s týmiž výrazy v tělese $\mathbb{R}$ , vyplývá z předpokladu, že $\mathbb{R}$ má být podtěleso v $\mathbb{C}$ .

check_drummer · 13. 12. 2014 13:17

↑ Rumburak:
Ahoj, a z čeho plyne II? O tělse S nepředpokládám, že v něm má každý polynom kořen. A ani bych nechtěl - chtěl bych volit takové předpoklady, které nemají co do činění s uzavřeností tělesa nebo s řešitelností nějakých rovnic. Já vím, že volba podmínek, které musí S splňovat je svoboná, ale tomuto bych se rád vyhnul. Např. jako vhodné se mi jeví podmínky týkající se existence normy a jejích vlastností, apod. Tedy v podstatě funkce s hodnotami v reálných číslech - a tedy z tohoto pohledu funkce relativně jednoduché.

Rumburak · 15. 12. 2014 11:06

↑ check_drummer:

Ahoj.

Tvrzení

II. Polynom $x^2 + 1$ , který nemá kořen v $\mathbb{R}$ , má mít kořen $\mathrm{i} \in \mathbb{C}$ , tedy $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ .

plyne z předpokladů, že

(a) hledané těleso $\mathbb{C}$ je algebraicky uzavřené , tudíž každý polynom (s koeficienty c $\mathbb{C}$ ) stupně 1 a více
má v něm kořen,

(b) $\mathbb{C}$ je nadtěleso tělesa $\mathbb{R}$ .

Takže polynom $x^2 + 1$ s koeficienty v $\mathbb{R}$ je zároveň polynomem s koeficienty v $\mathbb{C}$ , jeho stupeň je
(z obou pohledů) 2 a tedy podle (a) má v $\mathbb{C}$ kořen, který jsme označili $\mathrm{i}$ . O dotyčném polynomu
však VÍME, že v $\mathbb{R}$ kořen NEMÁ, proto nutně $\mathrm{i} \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$ .

Podotýkám, že symbolem $S$ jsem označil pouze množinu prvků tvaru $a + b\,\mathrm{i} \in \mathbb{C}$ pro speciální případy,
kdy $a, b \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ . Že již $S$ má všechny vlastnosti hledaného tělesa $\mathbb{C}$ , by se muselo dokázat.

Domnívám se, že algebraická uzavřenost tělesa komplexních čísel je jeho vlastností natolik podstatnou,
že ji při konstrukci tohoto tělesa sotva bude možno ignorovat, pokud chceme jít "přirozenou" cestou
a ne tak, že vysypeme z rukávu nějaké axiomy, jejichž odůvodnění nebude zřejmé.

check_drummer

↑ Rumburak:
Ahoj, no a uměl bys tedy dát příklad tělesa (neizomorfního s $\mathbb{C}$ ), na které klademe pouze mnou výše uvedené předpoklady, tj. aby to bylo rozšíření $\mathbb{R}$ (a šlo o dvojice [v,w] reálných čísel - a [r,0] ztotožňujeme s reálným číslem r), kde násobení a sčítání je definováno jako nějaký polynom v souřadnicích činitelů (sčítanců), a případně aby ještě platilo (pro normu):
$|u^n|=|u|^n$ , kde pro u:=[v,w] klademe $|u|:=\sqrt{v^2+w^2}$ .
Tedy tím udat příklad myslím definovat sčítání a násobení, aby pro takto sestrojené operace byly splněny podmínky výše.

Naopak si myslím, že některé podmínky (axiomy) mohou být velmi přirozené a slabší ("přímočařejší") než požadavek na řešitelnost jistých rovnic.

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj.

Komutativní nadtěleso $S$ tělesa $\mathbb{R}$ můžeme vnímat jako vektorový (neboli lineární) prostor nad $\mathbb{R}$ .
Budeme-li chtít, aby při tomto pohledu byla dimense prostoru $S$ rovna 2, potom prostor $S$ bude isomorfní
s "klasickým" vektorovým prostorem $\mathbb{R}^2$ . Tedy můžeme množinově ztotožnit $S$ s $\mathbb{R}^2$ , a to tak, že
reálnému číslu $r \in S$ bude odpovídat usp. dvojice $[r, 0] \in \mathbb{R}^2$ . Tím je zárovreň určeno, že

(1) $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ pro $(a, b) , (c, d) \in S$ ,
(2) $(r, 0) \cdot (a, b) = r \cdot (a, b) = (ra, rb)$ pro $(a, b) \in S , r \in \mathbb{R}$ .

Díky algebraickým zákonům platným v tělese zbýva k obecné představě o součinu v $S$ již jen prozkoumat,
čemu by se mělo rovnat $(0, 1) \cdot (a, b)$ . Z (2) plyne $(1, 0) \cdot (0, 1) = (0, 1)$ , což můžeme pomocí
komut. zákona pro součin zapsat ve tvaru

(3) $(0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 1)$ ,

v němž první činitel $(0, 1)$ bude vnímán jako operátor. Operace (3) provedená s vektorem $(1, 0)$ v rovině
opatřené běžnou kartéskou soustavou souřadnic tedy provedla to, že ho otočila okolo počátku o pravý úhel
v kladním směru. Tuto vlastnost využijeme pro definici uvedené operace s obecným vektorem $(a, b)$ .
Položíme tedy

(4) $(0, 1) \cdot (a, b) := (-b, a)$ .

Nutno samozřejmě ověřit, že trojice $S, +, \cdot$ při definici (4) skutečně bude tělesem.