Matematické Fórum

vanok · 22. 12. 2014 12:08

Pozdravujem ↑↑ Rumburak:,
Tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=78989 vlasnost 3) da maly doplnok.

Rumburak · 22. 12. 2014 13:46

↑ vanok:

Ahoj. Díky za doplnění.

Přeji Ti šťastný nový rok.

vanok · 22. 12. 2014 16:25

↑ Rumburak:,
Aj tebe Vianoce, Novy rok ... darceky, uspechy, zdravie.

check_drummer · 22. 12. 2014 23:25

↑↑ Rumburak:
Ahoj, díky za příspěvek. Ta dimenze je podstatná. Vlastně to psal už OiBobik výše. Jen si nejsem jist, zda tento požadavek není zbytečný - pokud budeme např. požadovat po sčítání a násobení, aby to byly polynomy.

vanok · 22. 12. 2014 23:31

Ahoj ↑ check_drummer:, ta dim je 2, lebo ta zaujimaju dvojice.

check_drummer · 23. 12. 2014 01:33

↑ vanok:
Ahoj, je ale otázka, zda i nad dvojicemi není možné zkonstruovat vektorový prostor větší dimenze (viz opět poznámky od OiBobika) - přece obecně R a R2 mají stejnou mohutnost, takže to, že dim=2 je dle mého předpoklad a nikoli důsledek.

vanok · 23. 12. 2014 02:26

Ahoj ↑ check_drummer:,
To myslis na nieco taketo
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number
( ale tu nebudes mat komutativitu).

check_drummer · 24. 12. 2014 10:40

↑ vanok:
Ahoj, mohl bych postupovat tak, že budu uvažovat bijekci z R^k do R^2 a v R^2 definuji vhodné operace a ty mi budou indukovat operace v R^k - a tak mohu i R^k chápat jako R^2 (tj. jako prostor komplexních čísel). Sampozřejmě, pokud budu požadovat, aby operace v R^k měly další vlastnosti (spojitost, apod.), tak už tato konstrukce nejspíš nebude možná.

vanok · 24. 12. 2014 11:18 — Editoval vanok (25. 12. 2014 00:32)

Ahoj
Takyto postup rozsirovania algebri, da postupne z R
C
H quaternions
http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Octonion
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Sedenion

Cf. Dikson

Na kazdej etape sa dvojnasobi dim, a vzdy sa strati jedna z vlasnosti z predoslej etapy ( normalne heuresticky... Menej vlasnosti, vädcia struktura)
Presnejsie v C sa strati totalne usporiadanie, potom komutativita, asociativita, alternativita...
Cize tvoja idea chciet zachovat vela ( vsetki, alebo urcite ) vlasnosti je asi nemozna pre taketo struktury.

Edit. Jedno citanie o neasoaciativnych algebrach
http://math.uga.edu/~pete/nonassociativealgebra.pdf

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj.

Vždy musíme něco požadovat. Ale vyjít přesně a pouze z Tvých představ neumím.

Za jednoho dlouhého zimního večera mne však napadlo, jak dojít ke klíčovému vztahu $(0, 1)\cdot (a, b) = (-b , a)$
jemnější cestou než v ↑↑ Rumburak: . Možná by Tě to mohlo zajímat .

Uvažujme situaci popsanou v ↑↑ Rumburak: a položme

(A) $f(x,y) := (0, 1)\cdot (x, y)$ .

Z odkazovaného příspěvku víme, že

(B) $f(1, 0) = (0, 1)$ .

Chceme-li dostat těleso, musí uvažované zobrazení $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ být lineární. Mějme tedy $p, q, r, s \in \mathbb{R}$
taková, aby

$f(x,y) = (px+qy, rx+sy)$ pro libovolné $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ .

Odtud pro $(x, y) = (1, 0)$ obdržíme $f(1,0) = (p, r)$ , což porovnáním s (B) dává $p = 0, r = 1$ , tedy

$f(x,y) \equiv (qy, x+sy)$ .

Připojíme-li požadavek, aby zobrazení $f$ zachovávalo normu vektoru, pak z rovnosti $||f(x, y)||^2 = ||(x, y)||^2$
postupně dostáváme
$(qy)^2 +(x+sy)^2 = x^2 + y^2$ ,
$q^2y^2 + x^2 + 2sxy + s^2y^2 = x^2 + y^2$ ,
$q^2y^2 + 2sxy + s^2y^2 = y^2$ .

Poslední rovnost je triviálně splněna vždy, když $y = 0$ . V případech $y \ne 0$ ji můžeme upravit na tvar

(C) $q^2 + 2s \cdot \frac{x}{y} + s^2 = 1$ .

Je zřejmé, že levá strana v rovnosti (C) při pevném $y \ne 0$ nesmí záviset na $x$ . Odtud nutně $s = 0 , q^2 = 1$ .

Případ $q = -1$ dává $f(x,y) \equiv (-y, x)$ , tedy teorii komplexních čísel tak, jak ji známe.

Případ $q = +1$ vede ke sporu s požadavkem, aby uvedenou konstrukcí vzniklo těleso:

Bude-li $f(x,y) \equiv (y, x)$ , potom $(0, 1)^2 = f(0, 1) = (1, 0)$ . Zároveň ovšem také chceme, aby
$(1, 0)^2 = (1 , 0)$ (což má odpovídat vztahu $1^2 = 1$ v $\mathbb{R}$ ). Z rovnosti $(0, 1)^2 = (1, 0)^2$ dále dostáváme

$(0, 0) = (0, 1)^2 - (1, 0)^2 = \[(0, 1) - (1, 0)\]\cdot \[(0, 1) + (1, 0)\] = (-1, 1) \cdot (1, 1)$ .

Avšak situace, aby nulový prvek byl součinem dvou nenulových prvků, v tělese nastat nemůže.

check_drummer · 29. 12. 2014 23:52

↑ Rumburak:
Ahoj, pěkné. Tedy nemusíme předpokládat nic o řešitelnostni jistých rovnic.
Ještě zbývá vyřešit, proč musí být R2 "klasický" vektorový prostor nad R, tedy proč tam nemůže být definováno sčítání jinak a tedy proč musí být f lineární.

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj. To, na co ptáš, je již vyřešeno :-) a jistě by se k tomu našla literatura (nějaká učebnice základů VŠ algebry,
i když konkretně neporadím).

1. Snadno se dá dokázat, že dva vektorové prostory téže dimense nad týmž tělesem jsou spolu isomorfní.

Návod:

Nechť $B$ je báze prostoru $X$ a $C$ báze prostoru $Y$ (předpokládáme, že jde o prostory nad týmž tělesem $T$ )
Mají-li prostory $X, Y$ tutéž dimensi, potom existuje bijekce $g$ množiny $B$ na množinu $C$ .

Obecný vektor $\vec{u} \in B$ má vzhledem k bázi $B$ jednoznačné vyjádření tvaru $\vec{u} = \sum_{k=1}^n t_k \vec{b_k}$ , kde $n$ je
vhodné přirozené číslo (včetně 0) ne větší než dimese prostoru $X$ , $\vec{b_k} \in B$ navzájem různé vektory, $t_k \in T$ .

Položíme-li zde $h(\vec{u}) := \sum_{k=1}^n t_k g(\vec{b_k})$ , pak $h$ bude isomorfismus prostoru $X$ na prostor $Y$ .

Speciálně: vektorový prostor dimense 2 nad tělesem $\mathbb{R}$ je isomorfní s "klasickým" $\mathbb{R}^2$ .

2. Důkaz, že naše zobrazení $f(x, y) := (0,1)\cdot (x,y)$ je lineární, je rovněž jednoduchý a dostaneme ho ihned
z vlastností algebraických operací v komut. tělese:

$f((x, y)+(u, v)) = (0,1) \cdot ((x, y)+(u, v)) = (0,1) \cdot (x, y) + (0,1) \cdot (u, v) = f(x,y) + f(u,v)$

(použit distributivní zákon);

je-li $\lambda \in \mathbb{R}$ , potom podle naší licence je zároveň $\lambda \equiv (\lambda, 0) \in S$ a

$f((\lambda, 0)\cdot (x, y)) = (0,1) \cdot ((\lambda,0)\cdot (x, u)) = (\lambda,0)\cdot ((0,1)\cdot (x,y)) = (\lambda,0)\cdot f(x,y)$ ,

(použit asociativní a komutativní zákon pro násobení) , tedy $f(\lambda \cdot (x, y)) = \lambda f(x, y)$ .

3. Další věta ze základů vektorové algebry říká, že každé lineátní zobrazení $f:\mathbb{R}^m \to \matbb{R}^n$ se dá vyjdřit jako
součin vhodné matice s vektorem. Odtud tvar $f(x,y) = (px + qy, rx + sy)$ .

check_drummer · 01. 01. 2015 16:53

↑ Rumburak:
Ahoj, mlčky však předpokládáš, že tebou zkonstruované těleso má dimenzi 2. To by měl být další předpoklad (řekl bych že vcelku obecný a akceptovatelný) na námi konstruované těleso - není to totiž zřejmé a ani to dle mého z ničeho neplyne. Ale potom již bychom měli dostat komplexní čísla.

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj.
Kdybychom předpokládali dimensi $d$ vektorového prostoru S nad $\mathbb{R}$ menší než 2, tedy 1, pak by bylo $S = \mathbb{R}$
a nedostali bychom nic nového. Máme-li získat něco nového, musíme hledat mezi případy, kdy $d \ge 2$ . Jak se ukazuje,
již případ $d = 2$ vede k cíli. Dále je známo, že případ $d = 3$ nemá řešení. Případ $d = 4$ dává těleso kvaternionů,
která ale již není komutativní.

check_drummer · 05. 01. 2015 18:32

↑ Rumburak:
To je pravda, takže bych tímto asi toto vlákno uzavřel - řekl bych, že předpoklady, které jsi použil jsou dostatečně rozumné.

Matematické Fórum

#26 22. 12. 2014 12:08

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#27 22. 12. 2014 13:46

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#28 22. 12. 2014 16:25

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#29 22. 12. 2014 23:25

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#30 22. 12. 2014 23:31

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#31 23. 12. 2014 01:33

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#32 23. 12. 2014 02:26

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#33 24. 12. 2014 10:40

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#34 24. 12. 2014 11:18 — Editoval vanok (25. 12. 2014 00:32)

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#35 29. 12. 2014 12:17 — Editoval Rumburak (29. 12. 2014 16:57)

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#36 29. 12. 2014 23:52

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#37 30. 12. 2014 15:50 — Editoval Rumburak (30. 12. 2014 15:55)

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#38 01. 01. 2015 16:53

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#39 05. 01. 2015 09:49 — Editoval Rumburak (05. 01. 2015 09:50)

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

#40 05. 01. 2015 18:32

Re: Komplexní číslo jako obecná dvojice reálných čísel

Zápatí