Matematické Fórum

Honzinho1999 · 18. 12. 2014 21:01

Dobrý večer,
Mám dotaz ,kdybych zderivoval kvadratickou rovnici.Dojdu i přes zderivovani ke kořenům?
Děkuji

misaH · 18. 12. 2014 21:05 — Editoval misaH (18. 12. 2014 21:33)

↑ Honzinho1999:

Nie. Ak, tak len výnimočne.

Veď si to skús - napríklad $x^2=9$

Ako si na taký nápad prišiel?

Honzinho1999 · 18. 12. 2014 21:22

Zderivovat $x^{2}$ na 2x

Honzinho1999 · 18. 12. 2014 21:25

Viděl jsem něco podobného u matematické olympiády online v perličkách.Byla tam řešená kubicka rovnice zderivovanim a zni vznikla kvadratická.

misaH · 18. 12. 2014 21:32 — Editoval misaH (18. 12. 2014 21:48)

↑ Honzinho1999:

Aha...

To je o extréme funkcie.

Honzinho1999 · 18. 12. 2014 21:41

Příkládám pro přehlednost odkaz : http://matholymp.fme.vutbr.cz/ShowFullT … Kucera.jpg

misaH · 18. 12. 2014 21:49 — Editoval misaH (18. 12. 2014 21:56)

↑ Honzinho1999:

Je to o extréme funkcie, nie o riešení rovnice.

Zadanie tam nie je. Aká postupnosť?

Honzinho1999 · 18. 12. 2014 22:04

Zde přikládám zadání : Mějme kubickou rovnici x 3 − 45x 2 + 594x + k = 0. Určete hodnotu parametru k, pokud víte, že
kořeny této rovnice jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.

misaH · 18. 12. 2014 22:12 — Editoval misaH (18. 12. 2014 22:14)

↑ Honzinho1999:

Prečítaj si to riešenie.

x_1 a x_2 sú čísla, v ktorých je extrém funkcie y= ľavá strana danej rovnice, nie sú to riešenia rovnice

Na zisťovanie bodov (x), v ktorých má funkcia extrém slúži derivácia funkcie (prvá a druhá).

jelena · 18. 12. 2014 23:36

Zdravím,

↑ Honzinho1999: dojdeš k bodu, který je na ose úsečky mezi kořeny a udává vrchol paraboly. tedy $x_V=\frac{x_1+x_2}{2}$ , teď mne ale nenapadá, jak by mohla být úloha formulována, aby se tato vlastnost dala využit.

Jak se dívám na řešení k úloze

Mějme kubickou rovnici x 3 − 45x 2 + 594x + k = 0. Určete hodnotu parametru k, pokud víte, že
kořeny této rovnice jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.

co máš na obrázku v odkazu, tak není nejhorší (využívá vyšetření funkce a další vlastností) a k výsledku povede, ovšem nevím, zda u některých slov "zřejmě", "nepochybně" by nebylo požadováno přesnější zdůvodnění.

Spíš bych postupovala tak, že členy aritmetické posloupnosti označím $x_2$ - prostřední člen, $x_2+d=x_3$ , $x_2-d=x_1$ a platí (jelikož jsou kořeny rovnice) rozklad na součin $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$ , když dosadíš a poupravuješ, měl bys mít možnost porovnat koeficienty u jednotlivých mocnin x.

Jinak úlohy (starší) z různých olympiád a soutěží je lepší dávat do příslušné sekce Zajímavých (viz dolní část hlavní stránky fóra).

vlado_bb · 19. 12. 2014 04:41

↑ Honzinho1999:Snad este lingvisticka poznamka - neexistuje nic take ako derivovanie rovnice. Existuje derivacia funkcie, teda ak pozerame na rovnicu ako na rovnost dvoch funkcii, mozeme najst derivacie oboch tychto funkcii. Dostaneme tak rovnost ich derivacii (co su vo vseobecnosti ine funkcie). Riesenia takto ziskanej rovnice ale vo vseobecnosti nemaju s rieseniami tej povodnej nic spolocne.

misaH · 20. 12. 2014 03:46 — Editoval misaH (20. 12. 2014 08:39)

↑ jelena:

Otázka zadávateľa bola o niečom úplne inom.

+

x1 a x2 v postupe od riešiteľov úlohy neznamenali korene rovnice, netreba ľudí komentármi zbytočne mýliť.

+

"nebolo požadované presnejšie vysvetlenie" - veď hodnotitelia postup vyhodnotili ako perfektný, mala by si hovoriť o sebe, že Ty by si požadovala presnejšie zdôvodnenia; skutočným hodnotiteľom riešenia formulácia stačila

na obrázku nie je práca zadávateľa, ale cudzie riešenie, ktorému zadávateľ neporozumel a zle ho interpretoval - niet nad štúdium originálov a čítanie príspevkov od začiatku

jelena · 20. 12. 2014 09:19

Zdravím,

↑ Honzinho1999:

větou

↑ Honzinho1999: dojdeš k bodu, který je na ose úsečky mezi kořeny a udává vrchol paraboly. tedy $x_V=\frac{x_1+x_2}{2}$ , teď mne ale nenapadá, jak by mohla být úloha formulována, aby se tato vlastnost dala využit.

jsem reagovala na 1. příspěvek (viz "posílatko" na úvod mého příspěvku)

Mám dotaz ,kdybych zderivoval kvadratickou rovnici.Dojdu i přes zderivovani ke kořenům?

Ale jak se ještě dívám na řešení z obrázku, co máš v příspěvku 6, tak tam uvedené zdůvodnění (o symetrii a stejné vzdálenosti) se dá použit rovnou na nalezení bodu mezi extrémy kubického polynomu (což bude 2. derivace nulová a zároveň hodnota prostředního členu posloupnosti). Potom dosazením hodnoty za $x$ do původní rovnice lze najít $k$ .

Ovšem, jak jsem psala, ovšem nevím, zda u některých slov "zřejmě", "nepochybně" by nebylo požadováno přesnější zdůvodnění.

Pokud mi vyjde nějak rozumně čas, zkusím body, u kterých nejsem si jistá se zdůvodněním, zpracovat kolegům do Zajímavých.

misaH · 20. 12. 2014 09:31

↑ jelena:

Nie.

Jj · 20. 12. 2014 11:25

Zdravím všechny.

Řekl bych, že jistá souvislost s "derivováním rovnice" podle ↑ Honzinho1999: tu je - u násobných kořenů:

J-li x násobným kořenem polynomu, tak je také kořenem derivace tototo polynomu (u k-násobného kořene až do řádu derivace k-1).

jelena · 20. 12. 2014 11:38

↑ Jj:

Zdravím Vás a děkuji, založila jsem téma v Zajímavých, snad bude trošku přehledné diskutovat přímo nad úlohou - kolega to bohužel na úvod trochu zamlžil (i když konkrétně k jeho dotazu snad také odpověď již má).

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2014 21:01

Zderivovaná kvadratická rovnice

#2 18. 12. 2014 21:05 — Editoval misaH (18. 12. 2014 21:33)

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#3 18. 12. 2014 21:22

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#4 18. 12. 2014 21:25

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#5 18. 12. 2014 21:32 — Editoval misaH (18. 12. 2014 21:48)

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#6 18. 12. 2014 21:41

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#7 18. 12. 2014 21:49 — Editoval misaH (18. 12. 2014 21:56)

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#8 18. 12. 2014 22:04

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#9 18. 12. 2014 22:12 — Editoval misaH (18. 12. 2014 22:14)

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#10 18. 12. 2014 23:36

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#11 19. 12. 2014 04:41

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#12 20. 12. 2014 03:46 — Editoval misaH (20. 12. 2014 08:39)

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#13 20. 12. 2014 09:19

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#14 20. 12. 2014 09:31

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#15 20. 12. 2014 11:25

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

#16 20. 12. 2014 11:38

Re: Zderivovaná kvadratická rovnice

Zápatí