Matematické Fórum

L4W · 24. 04. 2009 12:17 — Editoval L4W (24. 04. 2009 12:19)

Zdravim

Mam problem s nekolika priklady na vypocet urciteho integralu.

1. priklad - urceni delky krivky

Muj dostavadni postup: Po vydeleni uz nevim co dal (znamenko -). Vysledek by mel byt $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=2ln3-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$

2. priklad - obsah rovinného obrazce ohraničeného osou x a křivkou zadanou parametrickými rovnicemi

Muj dostavadni postup: Spise cmaranice tuzkou, vubec nevim. Vysledek by mel byt $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B27%5Cpi%7D%7B8%7D$

3. priklad - Vypočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací dané křivky kolem osy x:

tady uz se vubec nechytam, protoze vzorec pro vypocet plaste je tak slozitej, ze pri pokusu o dosazeni dostanu neco, co poste nezintegruju ani kdybych se mel zblaznit. Vysledek by mel byt

Rumburak

Nejspíše dnes nestihnu okomentovat všechno.

Začnu příkladem 1 .
Již na 3. řádku je chyba - diferenciál oblouku křivky grafu fce f je $dl=\sqrt {1+f'^2}\,dx$ a nikoliv se znaménkem minus u druhého členu
pod odmocninou, jak se domníváš. Smím-li radit, dávej si také větší pozor na formální správnost zápisu - viz výpočet $f'^2 = ...$ ,
kde u druhého členu této složené rovnosti chybí exponent "na druhou" a u dalšího členu se zase objeví. Při takovýchto nepřesnostech se nelze divit,
že výpočet občas "ulítne" někam jinam, než kam by měl.

Příklad 3.
Vzorec pro obsah takovéto rotační plochy je S = 2*pi*I , kde $I =\int_{a}^{b}y\,\sqrt{1+y'^2}\,dx$ , v našem případě, kdy y(x) = sin x, y'(x) = cos x , tedy
$I =\int_{0}^{\pi}\sin x\,\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx$ . Nejprve provedeme substituci t = cos x , tj. dt = - sinx dx, bodu x=0 odpovídá t = 1, bodu x= pi odpovídá t = -1
(fce cos je na integrečním intervalu klesající), takže potom
$I =\int_{1}^{-1}(-1)\,\sqrt{1+t^2}\,dt =\int_{-1}^{1}\,\sqrt{1+t^2}\,dt = 2\int_{0}^{1}\,\sqrt{1+t^2}\,dt$ . Zabývejme se dále integrálem $J = \int_{0}^{1}\,\sqrt{1+t^2}\,dt$ .
Zde bude vhodná tzv. hyperbolická substituce

t = sinh u = (1/2) * (exp (u) - exp(-u))

(funkce sinh se jmenuje hyperbolický sinus, případné bližší informace hledej pod heslem "hyperbolické funkce").
Fce sinh je rostoucí, sinh 0 = 0 (čili dolní mez intehrálu J zůstane i po substituci 0 , novou horní mez m vypočítáme z rovnice

(1/2) * (exp (m) - exp(-m)) = 1 ,

což vede na kvadratickou rovnici pro neznámou exp(m) a číslo m se pak vyjádří přirozeným logaritmem.
Derivací fce sinh je fce

(*) cosh x = (1/2) * (exp (x) + exp(-x)) (hyperbolický kosinus),

takže dt = cosh u du.
V reálném oboru dále platí $\cosh x = \sqrt{1+ \sinh^2 x}$ , takže po provední navrhované substituce bude mít integrál J tvar
$J= \int_{0}^{m}\cosh^2 u\,du$ , což se dá pomocí (*) snadno převést na integrál z exponenciální funkce, i když existují i další způsoby výpočtu.

Také navrhovaná hyperbolická substituce není jedinou možností - lze použít i standardní substituci pro odmocninu a převést úlohu na
integrál z racionální funkce.

Budu-li mít příští týden čas a bude-li to ještě aktuální, poreferuji i o druhém příkladě.

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2009 12:17 — Editoval L4W (24. 04. 2009 12:19)

Určité integrály

#2 25. 04. 2009 10:58 — Editoval Rumburak (25. 04. 2009 11:41)

Re: Určité integrály

Zápatí