Matematické Fórum

vachyto · 10. 02. 2015 20:18

Dobrý večer,
nevěděl by někdo, jak na tento příklad:
Na přímce AB, kde A [-3; 2], B [2; -3] určete bod M tak, aby platilo ǀAMǀ = 2/3*ǀBMǀ
Jde o příklad z Petákové.
Zkoušel jsem si pro M dosadit X a Y do ǀAMǀ = 2/3*ǀBMǀ a vyšla mi ošklivá rovnice o dvou neznámých, na které jsem skončil. Ještě mě napadlo udělat si z toho obecnou rovnici a tu dosadit do toho vzorce a tím mít jen jednu neznámou. Tím mi vznikne ještě něco ošklivější a po prokousání se tím stejně končím na něčem, co nedokážu vyřešit. Máte někdo nějaké nápady?
Díky moc :-)

Jj · 10. 02. 2015 21:06

↑ vachyto:

Dobrý den.
Úsečku AB lze snadno rozdělit bodem M v návaznosti na dělící poměr $\lambda = \overline{AM}:\overline{BM}$
(pozor, úsečky AM, BM jsou orientované úsečky):

Dáno: $A(x_1, y_1), B(x_2,y_2), \lambda)$

Pak bod M má souřadnice:

$x=\frac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda}, \quad y = \frac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}$

Řekl bych, že pro daný příklad bude $\overline{AM}:\overline{BM}=-\frac{2}{3}$
(úsečky AM, BM jsou opačně orientované --> lambda < 0)

Takže:

$x_M=\frac{-3-(-2/3))\cdot 2}{1-(-2/3)}=-1,\,\,y_M=\frac{2-(-2/3))\cdot (-3)}{1-(-2/3)}=0$

Poznámky:
- pro půlící bod úsečky je lambda = -1,
- vztahy pro x, y jsou rovnicí přímky dané dvěma body a proměnným dělícím poměrem.

vachyto · 10. 02. 2015 21:16

↑ Jj:To vypadá nad míru dobře a s výsledky se to shoduje. Ve výsledcích je ještě M2 [-13; 12]. Dá se na to přijít nějakou podobnou metodou? Nebo je způsob řešení úplně jiný? Každopádně Vám patří veliké díky

Jj · 10. 02. 2015 21:34

↑ vachyto:

Aha - já jsem si nějak vsugeroval, že jde o dělení úsečky - ovšem jde o poměr vzdáleností. To by mělo mít ještě jedno řešení, kdy bod M leží vlevo před počátečním bodem A úsečky AB. Pak bych to viděl na
$\lambda =+\frac{2}{3}$ (AM, BM mají stejnou orientaci).

vachyto · 10. 02. 2015 21:41

↑ Jj:Vložil jsem to do kalkulačky a shoduje se to s výsledky. Tudíž Vám patří ještě jedno mé velké díky :-)

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2015 20:18

Výpočet vzdálenosti dvou bodů

#2 10. 02. 2015 21:06

Re: Výpočet vzdálenosti dvou bodů

#3 10. 02. 2015 21:16

Re: Výpočet vzdálenosti dvou bodů

#4 10. 02. 2015 21:17 Příspěvek uživatele Darko byl skryt uživatelem Darko. Důvod: špatně jsem přečetl zadání

#5 10. 02. 2015 21:34

Re: Výpočet vzdálenosti dvou bodů

#6 10. 02. 2015 21:41

Re: Výpočet vzdálenosti dvou bodů

Zápatí