Matematické Fórum

chochi · 28. 04. 2009 14:42

Dobrý den
prosím o pomocc s tímto příkladem vůbec si nevím rady.
Pomocí rozvoje do mocninné řady vypočítejte $\int_{0}^{\frac{1}{4}}\frac{1}{1-x^9 }dx$ s přesností na 3 desetinná místa.

Děkuji za odpověď

Rumburak

Pro uvažované hodnoty proměnné x platí $\frac{1}{1-x^9 }=\sum_{n=0}^{\infty}x^{9n}$ (geom. řada o kvocientu x^9).
Poloměr konvergence řady je 1, takže obě integrační meze leží uvnitř konvergenčního kruhu, tudíž na integračním intervalu řada konverguje stejnoměrně
a proto (též díky konečné délce tohoto intervalu) lze zaměnit pořadí sumy a integrace. Tedy
$\int_{0}^{\frac{1}{4}}\frac{1}{1-x^9 }dx = \int_{0}^{\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}x^{9n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\,\int_{0}^{\frac{1}{4}}x^{9n}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\,\frac {1}{9n+1}(\frac {1}{4})^{9n+1}$ .

Odhadněme zbytek řady, k níž jsme došli:

$R_{k} = \sum_{n=k}^{\infty}\,\frac {1}{9n+1}(\frac {1}{4})^{9n+1} \le \frac {1}{4(9k+1)}\sum_{n=k}^{\infty}\,(\frac {1}{4^9})^{n} = \frac {1}{4(9k+1)} (\frac {1}{4^9})^{k} \sum_{n=k}^{\infty}\,(\frac {1}{4^9})^{n-k} = \frac {1}{4(9k+1)} (\frac {1}{4^9})^{k} \sum_{m=0}^{\infty}\,(\frac {1}{4^9})^{m} =$ ,
$= \frac {1}{4(9k+1)} (\frac {1}{4^9})^{k} \cdot \frac {1}{1-\frac{1}{4^9}} = \frac {1}{4(9k+1)} (\frac {1}{4^9})^{k} \cdot \frac {4^9}{4^{9}-1} = \frac {1}{4(9k+1)} (\frac {1}{4^9})^{k} \cdot \frac {262144}{262143} \le \frac {1}{4(9k+1)} (\frac {1}{4^9})^{k}(1+4 \cdot 10^{-6})$ .

Číslo k zvolíme tak, aby $\frac {1}{4(9k+1)} (\frac {1}{4^9})^{k}(1+4 \cdot 10^{-6}) \,< \,\frac {1}{2} \cdot 10^{-3}$ , a sečteme odpovídající počet členů příslušné řady. (Stačí vzít k=1).

Poznámka: ... pokud jsem správně pochopil, co znamená "přesnost na 3 desetinná místa" - v tomto bodě si nejsem zcela jist. Kolik členů řady nutno sečíst , aby
přibližný desetinný rozvoj daného čísla se shodoval s jeho skutečným rozvojem až do 3. desetinného místa včetně, závisí nejen na přesnosti odhadu velikosti zbytku
řady, ale též na rozložení cifer ve skutečném (tj. nikloli jen přibližném) des. rozvoji daného čísla. Například zvýšíme-li číslo c = 1 999, 999 999 o hodnotu 10^(-6) ,
obdržíme 2 000 , takže chyba velikosti 10^(-6) se promítla do řádu tisíců.

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2009 14:42

Mocninné řady

#2 28. 04. 2009 15:46 — Editoval Rumburak (30. 04. 2009 10:00)

Re: Mocninné řady

Zápatí