Matematické Fórum

pista · 04. 05. 2009 08:50

Mám vyřešit úlohu: Do rotačního kužele i poloměru podstavy R a výšce h vepište rotační válec, který má největší obsah pláště (bez podstav).

Nevím, jak začít. mám funkci na obsah pláště o dvou proměnných. Potřebuji jednu proměnnou vyjádřit z jiného vztahu, aby měl nějakou vazbu na zadaný rotační kužel. A to nevím, jak mám napsat. Poradíte?

ttopi · 04. 05. 2009 08:54

Jde o to, že budeš volit poloměr podstavy válce a k tomu ti bude vycházet maximální možná výška válce, aby se vešel do kužele. Musíš si tedy tu výšku vyjádřit v závislosti na poloměu podstavy válce. Pak si do vzorečku na obsah pláště válce dosadíštyto vyjádřené hodnoty a máš funkci, která ti řekne, jaký bude tento obsah při poloměru r a výšce v. Ty pak musíš najít extrém této funkce - to provedeš položením první derivace rovno 0 (to už jistě zvládneš).

pista · 04. 05. 2009 09:49

↑ ttopi: To se mi nějak nezdá. Tím bych vyřešila maximální obsah pláště v zívislosti na poměru výšky k poloměru. Ale myslím, že to neřeší vztah k rozměrům daného rotačního kužele.

jelena · 04. 05. 2009 10:08

↑ pista:

zkusila bych použit tlačitko Hledat v horní liště, do 1.okna zadat "Do rotačního kužele" a v dalším okně zvolit "vysoká škola"

--------------------

Ттопи, милый друг, Тебя я давно не видела - но, еще не все дорешено, еще не все разрешено, привет.

Cheop · 04. 05. 2009 10:49

↑ ttopi:
Vychází mi toto:
$v=\frac h2\nlr=\frac R2\nlS_{\textrm{max}}=\frac{\pi\cdot R\cdot h}{2}$

Cheop · 04. 05. 2009 11:08 — Editoval Cheop (04. 05. 2009 11:08)

↑ jelena:
Zdravím:-)
Hezká píseň, ale kdyby tam nebyly titulky(ruské), tak tomu
zpěvákoví rozumím tak každé třetí slovo.

Cheop · 04. 05. 2009 11:56 — Editoval Cheop (04. 05. 2009 12:24)

↑ pista:
Dle obrázku a z podobnosti trojúhelníků platí:

Pro obsah pláště válce (bez podstav) platí:
$S=2\pi\cdot r\cdot v\,\rightarrow\,\textrm{max}$ dosadíme za v dle obrázku a dostaneme:
$S=\frac{2\pi\cdot r\cdot h(R-r)}{R}\,\rightarrow\,\textrm{max}$ derivujeme dle r a derivaci položíme rovnu nule
$S^'=\frac{2\pi\cdot h}{R}\left(R-2r\right)=0\nlR-2r=0\nlr=\frac R2$ vypočítáme výšku válce v
$v=\frac{h(R-r)}{R}=\frac{h\left(R-\frac R2\right)}{R}\,\Right\nlv=\frac h2$

Takže:
$S_{max}=\frac{2\pi\cdot R\cdot h}{4}=\frac{\pi\cdot R\cdot h}{2}$
Obsah pláště bude maximální, když poloměr válce bude mít poloviční rozměr poloměru kužele a zároveň výška válce bude polovinou výšky kužele.

pista · 04. 05. 2009 12:48

↑ Cheop: Díky moc, to řešení vypadá dobře.

ttopi · 04. 05. 2009 13:13

↑ pista:
Ale řeší. Tu výšku válce totiž spočteš samozřejmě dle možností kužele. Myslím, že Cheop to napsal přesně tak, jak jsem si představoval asi.

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2009 08:50

Globální extrém - slovní úloha

#2 04. 05. 2009 08:54

Re: Globální extrém - slovní úloha

#3 04. 05. 2009 09:49

Re: Globální extrém - slovní úloha

#4 04. 05. 2009 10:08

Re: Globální extrém - slovní úloha

#5 04. 05. 2009 10:49

Re: Globální extrém - slovní úloha

#6 04. 05. 2009 11:08 — Editoval Cheop (04. 05. 2009 11:08)

Re: Globální extrém - slovní úloha

#7 04. 05. 2009 11:56 — Editoval Cheop (04. 05. 2009 12:24)

Re: Globální extrém - slovní úloha

#8 04. 05. 2009 12:48

Re: Globální extrém - slovní úloha

#9 04. 05. 2009 13:13

Re: Globální extrém - slovní úloha

Zápatí