Matematické Fórum

Tomy · 04. 05. 2009 16:29 — Editoval Tomy (04. 05. 2009 16:30)

Dobrý den,mám příklad na mocninnou řadu,již jsem koukal co se řešilo na fóru,ale stále jsem se nemůžu na ničem chytit. Mám odhadnout integrál pomocí mocninné řady s přesností na dvě desetinná místa.
Budu vděčný za každou radu.

kaja(z_hajovny)

1. rozvinout ln(x+1) do rady se stredem v nule, rozmyslet si jak je to s oborem konvergence
2. vydelit x-em
3. integrovat clen po clenu
4. rozmyslet si, kolik clenu je potreba vzit (alternujici rada)

Tomy · 04. 05. 2009 19:16

Mohl by mi někdo prosím poradit jak a podle jakého vzorce rozvinout tu řadu?

kaja(z_hajovny) · 04. 05. 2009 19:27

Tayloruv polynom

Tomy · 04. 05. 2009 19:38

tak ted nevim jestli jsem to špatně pochopil,ale zadání zní: pomocí rozvoje do MOCNINNÉ řady odhadněte integrál ... tudíž se mi zdá divné použít taylorův polynom. Použil bych něco takového: ,ale nevím jak.

kaja(z_hajovny) · 04. 05. 2009 19:52

Zacatek rady je tauloruv polynom.

Ale mate pravdu, rozvinte tedy do rady :)

Tomy · 04. 05. 2009 20:17

to je to, netuším kam co dosadit...když vezmu ten výše uvedený vzoreček tak x0 tak to je střed,ten bych zvolil 0 pak x za tu bych dosadil ten integrál,ale a??

kaja(z_hajovny)

muste napsat tayloruv rozvoj funkce ln(x+1)/x v nule.

Zacatek bude stejny jako tayloruv polynom (pro kontrolu muzete pouzit muj odkaz vyse), ale bude to nekonecna rada.

Takze budeme derivovat a delit faktorialem.

Integral prijde ke slovu az potom.

lukaszh · 04. 05. 2009 21:13

↑ Tomy:
$\ln(1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^N\cdot\frac{x^{N+1}}{N+1}=\sum_{n=0}^{N}(-1)^n\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}$
Odtiaľ vyplýva, že
$\frac{\ln(1+x)}{x}\approx 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\cdots+(-1)^N\cdot\frac{x^{N}}{N+1}=\sum_{n=0}^{N}(-1)^n\cdot\frac{x^{n}}{n+1}$
Funkciu zintegrujem:
$\int_{0}^{1/2}\frac{\ln(1+x)}{x}\,\rm{d}x\approx\sum_{n=0}^{N}\int_{0}^{1/2}(-1)^n\cdot\frac{x^{n}}{n+1}\,\rm{d}x=\sum_{n=0}^{N}(-1)^n\cdot\frac{(1/2)^{n+1}}{(n+1)^2}=\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}(n+1)^2}$
Pre alternujúci rad platí, že chyba, ktorej sa dopustíme pri sčítavaní
$\left|\sum_{n=N+1}^{\infty}(-1)^n\cdot a_n\right|\;<\;\left|a_{N+1}\right|$
Chceme, aby táto chyba bola menšia napr. ako 0,001

Stačí teda sčítať prvých 5 prípadne 4 členy :-) V úpravách som nahradil $(N+2)^2$ výrazom $2^N$ , ktorý je iste väčší ako predošlý štvorec. Nič tým nepokazím, len ešte spresním výpočet.