Matematické Fórum

velikan · 11. 05. 2009 09:50

ahojky, pomohl by mi někdo prosím s tímto příkladem:
Integrací nebo derivací člen po členu řady sum_{n=1}^{oo} (x^n)/(n+1) určete funkci součtu řady.
a ještě prosím s jedním: určete Obor absolutní konvergence řady sum_{n=1}^{oo} ((5^n) x^(n+1))/(2n-1).
Potřebuju trochu nakopnout, ať pak můžu spočítat další takové podobné příklady.díky moc předem.

Rumburak

Nejprve ke druhému příkladu:
Máme určit obor konvergence řady
(0) $f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n$ .
Teorie o mocninné řadě (0) říká, že
1. Konverguje (absolutně) v bodě x = 0 .
2. Ke každé takové řadě existuje právě jedno číslo $R \in <0,+\infty>$ takové, že
v množině
(1) $\{ x \in C \,:\, |x| \in <0,R) \}$
nazývané konvergenčním kruhem (C je množina komplexních čísel) řada konverguje,
a to absolutně a lokálně stejnoměrně, zatímco pro $|x| > R$ řada diverguje (o konvergenci v hraničních bodech kruhu nelze obecně nic říci).
Číslo R se nazývá poloměrem konvergence příslušné řady.
3. Týž poloměr konvergence mají mocninné řady
$g(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} na_n x^{n-1}$ , $F(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n+1}a_n x^{n+1}$ ,
přičemž v konvergenčním kruhu (1) je g derivací fce f , F primitivní funkcí k fci f.

K prvnímu příkladu:
Pro $x \in (-1, 1)$ je $\sum_{n = 0}^{\infty} x^n = \frac {1}{1-x}$ (geometrická řada o kvocientu x) a dále použijeme výše uvedená tvrzení.