Matematické Fórum

Marty1379 · 10. 11. 2015 18:13

Dobrý den,

dá se nějakým způsobem zjistit počet nezáporných řešení diofantické rovnice, za předpokladu, že znám jedno řešení, které může být i záporné?
$\text{a}\cdot x + b\cdot y = c$

Děkuji

Eratosthenes · 10. 11. 2015 18:26

ahoj ↑ Marty1379:,

obecně rozmyšleno nemám, ale možná, že by se na to dalo přijít zobecněním případu

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=87324

Brano · 11. 11. 2015 01:23 — Editoval Brano (11. 11. 2015 01:36)

Bez ujmy na vseobecnosti mozme predpokladat, ze $gcd(a,b)=1$ (ak nie, tak bud rovnica nema riesenie, alebo sa da skratit tak aby to platilo). Ak mas jedno riesenie $(p,q)$ tak vsetky sa daju napisat ako $(p-kb,q+ka)$ . Da sa lahko nahliadnut, ze ak maju $a,b$ rozdielne znamienka, tak potom budes mat nekonecne vela kladnych rieseni. Teda mozme predpokladat, ze $a,b>0$ . Potom sa znova lahko nahliadne, ze ak $p,q\ge 0$ tak pocet nezapornych rieseni je
$\left\lfloor\frac{p}{b}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{q}{a}\right\rfloor+1.$
Totizto prvy clen je pocet koko krat sa da znizit $p$ o $b$ aby ostalo este kladne, druhy analogicky pre $q$ a $a$ a to $+1$ je za riesenie co sme nasli - a uz si iba staci overit, ze ten vyraz sa nemeni, ked zoberieme lubovolne riesenie (aj ked je zaporne) a teda vzorec plati vseobecne; s tym, ze ak je ten "pocet" zaporny, tak rovnica nema kladne riesenie.

vanok · 11. 11. 2015 04:16 — Editoval vanok (11. 11. 2015 12:40)

Ahoj ↑ Brano:,
Tie riesenia sa daju napisat aj trochu vseobecnejie.
Pokial $a,b,c \in \mathbb{Z}$ take, ze $ab \neq 0$ a $d=gcd(a,b)$ . Za predpokladu, ze $d|c$
Cele riesenia rovnice ↑ Marty1379: su
$x=x_0+k \frac {b}d$
$y=y_0-k\frac {a}d$
kde $k \in \mathbb{Z}$ a $(x_0, y_0)$ jedno riesenie danej rovnice.
Ak chceme, ze $(x,y) \in \mathbb{N}^*$ , tak vyjadrime $k$
z
$0<x_0+k \frac {b}d$
$0<y_0-k\frac {a}d$
A ich pocet sa z toho lahko urci.

Brano · 11. 11. 2015 08:17

↑ vanok: mas tam k-cko naviac

vanok · 11. 11. 2015 08:46

↑ Brano:,
Vsak ano, ale som to doplnil, aby to bolo kompletne, i ked to je iste v kazdej knihe o takych diofantickych rovnicach.

Brano · 11. 11. 2015 11:17 — Editoval Brano (11. 11. 2015 11:19)

↑ vanok:
ano, dobre ze si to doplnil, je z toho mozno aj lepsie vidiet o co tam ide,
len som upozornoval na preklep - mas tam $k^2$ a zrejme tam malo byt iba $k$

vanok · 11. 11. 2015 11:34

↑ Brano:,
Dakujem.
To bolo male Z
Tak som ho presunul na novy riadok.

Brano · 11. 11. 2015 11:59 — Editoval Brano (11. 11. 2015 12:00)

↑ vanok:
tak teraz neviem ci som ja nieco nepochopil, ale myslel som to takto:

toto
$x=x_0+k \frac {kb}d$
by malo byt podla mna iba takto
$x=x_0+k \frac {b}d$

vanok · 11. 11. 2015 12:41

↑ Brano:
Dakujem, to bol ozaj mega preklep. Opravene

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2015 18:13

Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#2 10. 11. 2015 18:26

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#3 11. 11. 2015 01:23 — Editoval Brano (11. 11. 2015 01:36)

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#4 11. 11. 2015 04:16 — Editoval vanok (11. 11. 2015 12:40)

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#5 11. 11. 2015 08:17

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#6 11. 11. 2015 08:46

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#7 11. 11. 2015 11:17 — Editoval Brano (11. 11. 2015 11:19)

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#8 11. 11. 2015 11:34

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#9 11. 11. 2015 11:59 — Editoval Brano (11. 11. 2015 12:00)

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

#10 11. 11. 2015 12:41

Re: Počet nezáporných řešení diofantické rovnice

Zápatí