Matematické Fórum

ColePf · 15. 05. 2009 12:03

Toto jsou slovní úlohy na přijmačky na VUT FP

1) Běžec A uběhne okruh za 65 sekund, běžec B za 75 sekund. Běžec A vystartuje o 25 sekund dříve než běžec B. Pak se oba běžci potkají na startu nejdříve?

2)Otec má 5 synů, kteří se narodili po roce za sebou. Všichni jsou dnes dohromady tak staří jako jejich otec. Až bude nejmladším tolik let, jako je dnes otci, bude součet věku nejmladšího a nejstaršího z bratrů o 10 větší, než bude věk jejich otce. Součet věků všech bratrů za dva roky bude?

3)Číslo 140 je třeba rozdělit na dva sčítance tak, aby se devatenáctina prvního sčítance rovnala šestnáctině druhéno sčítance.

Ivana · 15. 05. 2009 12:12

↑ ColePf:

3. řešíš soustavu dvou rovnic

$a+b=140$

$\frac{a}{19}=\frac{b}{16}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ttopi · 15. 05. 2009 12:35

1.
Bežec A má náskok 25 s a běží kolo o 10 sekund rychleji než běžec B. Takže Bežec B ztrácí v 1.kole 25 sekund, ale v druhém už 35 sekund, 45,55,65 - v době, kdy ztrácí 65 sekund jsou vlastně oba na startu.

Nebo jednodušeji. Když B odbehne 1.kolo, A je před ním už 35 sekund (25+10), když doběhne 2.kolo, A je před ním 45 s, po 3.kole je A před ním 55s a po 4.kole je to 65s, což znamená, že A už je na startu a doběhl právě 5.kolo.

Takže se sejdou v době, kdy A uběhne 5 kol a B uběhne 4 kola. A poběží 5 minut a 25 sekund, B poběží 5 minut.

Kontrola:
Pokud tedy první vyběhne v 10:00, 5.kolo doběhne v 10h 5 minut a 25 s.
Druhý vybehně v 10h 0 minut 25 sekund a 4.kolo doběhne v 10h 5 minut a 25 s.

ttopi · 15. 05. 2009 12:56

Ta 2)
Snad úvahu a postup pochopíš.
Bratři jsou od sebe 1 rok, proto si věk 4 mladších bratrů vajádřím pomocí věku nejstaršího.
Věk nejstaršího $x_1=x_1$
Věk dalšího $x_2=x_1-1$
Věk třetího $x_3=x_1-2$
Věk čtvrtého $x_4=x_1-3$
Věk nejmladšího $x_5=x_1-4$

Součet jejich věků je tedy $5x_1+10$ a víme, že se to rovná věku otce, čili první rovnice je $5x_1-10=o$

Dále víme, že za $y$ let bude nejmladší syn stejně starý, jako je dnes starý jeho otec. Takže druhá rovnice $x_5+y=o\nlx_1-4+y=o$

Poslední informace je, že za těch $y$ let, kdy bude nejmladší syn stejně starý jako jeho otec dnes, bude součet nejmladšího a nejstaršího syna o 10 větší, než věk otce za oněch $y$ let.
Čili $x_1+y+x_5+y=o+y+10\nl2x_1-4+2y=o+y+10$ je třetí rovnice.

No dostávám soustavu 3 rovnic o 3 neznámých:
$5x_1+10=o\nlx_1-4+y=o\nl2x_1-4+2y=o+y+10$

Kterou snadno vyřešíš třeba dosazením $o$ z prvnírovnice do zbylých 2 a pak dopočítáš 2 rovnice o 2 neznámých.

Vyleze ti:
$x_1=10$ - věk nejstaršího syna je dnes 10 let a tedy součet všech synů je $5x_1-10=40$ let
$o=40$ a tedy součet věků všech synů se opravdu rovná věku otce.
$y=34$ - tedy za 34 let bude nejmladší syn stejně starý jako otec dnes $x_1-4+34=40=o$ - souhlasí.
Poslední kontrola: Za oněch 34 let bude součet nejmladšího a nejstaršího syna $2x_1-4+2y=20-4+68=84$ a věk otce bude v té době $o+34=40+34=74$ a ten je skutečně o 10 let menší než je součet věků oněch 2 bratrů.

Otázka tedy zní, součet věků všech bratrů za 2 roky bude?
No dnes je ten součet 40 a za 2 roky všech 5 bratrů o 2 roky zestárne, čili $40+5\cdot2=50$

Odpověď: Za 2 roky bude součet věků všech bratrů 50let.

callmeLG

↑ ttopi: nemáš to prohozený věk nejmladšího a věk nejstaršího :)
Věk nejstaršího $x_1=x_1$
Věk dalšího $x_2=x_1-1$
Věk třetího $x_3=x_1-2$
Věk čtvrtého $x_4=x_1-3$
Věk nejmladšího $x_5=x_1-4$

Cheop · 15. 05. 2009 13:02

↑ ColePf:
Př.1)
Označme:
t - čas běžce B
Aby se běžci setkali na startu, pak ten rychlejší (běžec A) musí uběhnout o 1 okruh navíc.
Lze tedy psát:
$\frac{t+25}{65}-\frac{t}{75}=1\nl75t+1875-65t=4875\nl10t=3000\nlt=300\,\textrm{s}$
Nejdříve se běžci na startu setkají za 5 minut poté, co vyběhl běžec B
Zkouška:
Běžec A byl na trati 325 s (vyběhl o 25 s dříve) a za tu dobu oběhl 325/65 = 5 okruhů
Běžec B byl na trati 300 s a za tu donu oběhl 300/75 = 4 okruhy.
Setkali se tedy z běžcem A opět na startu.

ttopi · 15. 05. 2009 13:04

Samozřejmě, opravím to, uf to bude práce

Cheop: Chválím! Já věděl, že to takhle nějak bude zapsáno, ale už se mi do toho nechtělo :-)

Cheop · 15. 05. 2009 13:21 — Editoval Cheop (15. 05. 2009 13:22)

↑ ttopi:
Mě tedy př.2) vychází 50 let.
Otec má dnes 40 let a věky synů jsou: 6, 7, 8, 9, 10 let.

ttopi · 15. 05. 2009 13:21

A mě snad ne? :-))

Cheop · 15. 05. 2009 13:24

↑ ttopi:
Jo už ano. (Ty jsi starý lišák) Pardon mladý lišák.

Cheop · 15. 05. 2009 14:30

↑ ColePf:
Nastíním zde svůj výpočet př.2) (nebude se příliš lišit od výpočtu ttopi)
Označme:
x - dnešní věk nejmladšího syna
y - dnešní věk otce
a - počet let, za které bude nejmladší syn tak starý jako otec dnes.
Sestavíme rovnice:
1) $x+x+1+x+2+x+3+x+4=y\nl5x+10=y$ součet věků synů je stejný jako věk otce
2) $x+a=y$ za a let bude nejmladší syn tak starý jako otec dnes
3) $x+a+x+a+4=y+a+10\nl2(x+a)=y+a+6$ za a let bude součet věků nejnladšího a nejstaršího syna o 10 let větší než věk otce za a let.
Rovnici 2) dosadíme do rovnice 3) a dostaneme:
4) $x+a=y\nl2(x+a)=y+a+6\nl2y=y+a+6\nly=a+6$
Porovnáme rovnici 2) a 4)
$x+a=y\nly=a+6\nlx+a=a+6\nlx=6$
Máme věk nejmladšího syna. Dopočteme současný věk dalších synů
Věk synů bude:
$x=6\nlx+1=7\nlx+2=8\nlx+3=9\nlx+4=10\nlS_n=\frac{5}{2}\left(6+10\right)\nlS_n=40\,\textrm{let}$
Za 2 roky bude součet věků synů:
$S=S_n+2n\nlS=40+2\cdot 5=40+10=50\nlS=50\,\textrm{let}$

Za dva roky bude součet věků synů 50 let.