Matematické Fórum

slender · 26. 11. 2015 10:44

Zdravím,
potřebuji dokázat platnost následujícího tvrzení:

$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \binom{4n}{2k} = (-4)^n$

zatím jsem to vyřešil pro n=0:

$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \binom{4n}{2k} = (-1)^0 \binom{0}{0} = 1$
$(-4)^0 = 1$

teď se snažím ukázat platnost implikace:

$\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \binom{4n}{2k} = (-4)^n \Rightarrow \sum_{k=0}^{2(n+1)}(-1)^k \binom{4(n+1)}{2k} = (-4)^{n+1}$

myslím si ale, že jsem udělal v tomhle kroku chybu, protože třeba podle Wolframu platí:

$\sum_{k=0}^{2(n+1)}(-1)^k \binom{4(n+1)}{2k} = -(-1)^n 4^{n+1} \neq (-4)^{n+1}$

Nevíte někdo prosím, kde dělám chybu?

byk7 · 26. 11. 2015 11:44

Proč by mělo platit $-(-1)^n4^{n+1}\neq(-4)^{n+1}$ ?

slender · 26. 11. 2015 12:04

↑ byk7: No jo, díky. Stydím se.

Teď si ještě nejsem jistej, jestli pro důkaz stačí ukázat:

$\sum_{k=0}^{2(n+1)}(-1)^k \binom{4(n+1)}{2k} = \left ( \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \binom{4n}{2k} \right ) (-4) = (-4)^n (-4) = (-4)^{n+1}$

Je to tak ok, nebo jsem tam provedl něco nepatřičného?

aaassseee · 27. 11. 2015 17:56

↑ slender:

taky ted resim tuto ulohu a napadlo mě, jestli by se nějak nedalo použít toto

$(-4)^{n+1}=(-4)^n(-4)=(-4)^n(1-5)=(-4)^n-5(-4)^n$

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2015 10:44

Důkaz (součtu) sumy indukcí

#2 26. 11. 2015 11:44

Re: Důkaz (součtu) sumy indukcí

#3 26. 11. 2015 12:04

Re: Důkaz (součtu) sumy indukcí

#4 27. 11. 2015 17:56

Re: Důkaz (součtu) sumy indukcí

Zápatí